Kalkulus Contoh

$(x^{2} + x y - y^{2}) d x + (\frac{1}{2} x^{2} - 2 x y) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = x^{2} + x y - y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + x y - y^{2}]$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + x y - y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Langkah 1.2.2

Karena $x^{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x^{2}$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x y$ terhadap $y$ adalah $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Langkah 1.3.3

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Langkah 1.4

Evaluasi $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- y^{2}$ terhadap $y$ adalah $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x - (2 y)$

Langkah 1.4.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x - 2 y$

Langkah 1.5

Tambahkan $0$ dan $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x - 2 y$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} - 2 x y]$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{1}{2} x^{2} - 2 x y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{1}{2} x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Langkah 2.3.3

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Langkah 2.3.4

Gabungkan $\frac{2}{2}$ dan $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Langkah 2.3.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Langkah 2.3.5.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Langkah 2.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $- 2 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x y$ terhadap $x$ adalah $- 2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x - 2 y \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x - 2 y \cdot 1$

Langkah 2.4.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x - 2 y$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $x - 2 y$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $x - 2 y$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x - 2 y = x - 2 y$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$x - 2 y = x - 2 y$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{2} x^{2} - 2 x y d y$

Langkah 5

Integralkan $N (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x y$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = \int \frac{1}{2} x^{2} d y + \int - 2 x y d y$

Langkah 5.2

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y + C + \int - 2 x y d y$

Langkah 5.3

Karena $- 2 x$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 2 x$ keluar dari integral.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y + C - 2 x \int y d y$

Langkah 5.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y + C - 2 x (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Langkah 5.5

Sederhanakan.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y - 2 x \frac{1}{2} y^{2} + C$

Langkah 5.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} y - 2 x \frac{1}{2} y^{2} + C$

Langkah 5.6.2

Gabungkan $\frac{x^{2}}{2}$ dan $y$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y}{2} - 2 x \frac{1}{2} y^{2} + C$

Langkah 5.6.3

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y}{2} + x \frac{- 2}{2} y^{2} + C$

Langkah 5.6.4

Gabungkan $x$ dan $\frac{- 2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y}{2} + \frac{x \cdot - 2}{2} y^{2} + C$

Langkah 5.6.5

Pindahkan $- 2$ ke sebelah kiri $x$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y}{2} + \frac{- 2 x}{2} y^{2} + C$

Langkah 5.6.6

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.6.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 x$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y}{2} + \frac{2 (- x)}{2} y^{2} + C$

Langkah 5.6.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.6.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y}{2} + \frac{2 (- x)}{2 (1)} y^{2} + C$

Langkah 5.6.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (x, y) = \frac{x^{2} y}{2} + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

Langkah 5.6.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (x, y) = \frac{x^{2} y}{2} + \frac{- x}{1} y^{2} + C$

Langkah 5.6.6.2.4

Bagilah $- x$ dengan $1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y}{2} - x y^{2} + C$

Langkah 5.7

Susun kembali suku-suku.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y - x y^{2} + C$

Langkah 6

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y - x y^{2} + g (x)$

Langkah 7

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{2} + x y - y^{2}$

Langkah 8

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y - x y^{2} + g (x)] = x^{2} + x y - y^{2}$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{1}{2} x^{2} y - x y^{2} + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} + x y - y^{2}$

Langkah 8.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} + x y - y^{2}$

Langkah 8.3.2

Gabungkan $\frac{x^{2}}{2}$ dan $y$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} y}{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} + x y - y^{2}$

Langkah 8.3.3

Karena $\frac{y}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x^{2} y}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{y}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{y}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} + x y - y^{2}$

Langkah 8.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{y}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} + x y - y^{2}$

Langkah 8.3.5

Gabungkan $2$ dan $\frac{y}{2}$ .

$\frac{2 y}{2} x + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} + x y - y^{2}$

Langkah 8.3.6

Gabungkan $\frac{2 y}{2}$ dan $x$ .

$\frac{2 y x}{2} + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} + x y - y^{2}$

Langkah 8.3.7

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.7.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y x}{2} + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} + x y - y^{2}$

Langkah 8.3.7.2

Bagilah $y x$ dengan $1$ .

$y x + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} + x y - y^{2}$

Langkah 8.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1

Karena $- y^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x y^{2}$ terhadap $x$ adalah $- y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$y x - y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} + x y - y^{2}$

Langkah 8.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$y x - y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} + x y - y^{2}$

Langkah 8.4.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$y x - y^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} + x y - y^{2}$

Langkah 8.5

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$y x - y^{2} + \frac{d g}{d x} = x^{2} + x y - y^{2}$

Langkah 8.6

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} - y^{2} + x y = x^{2} + x y - y^{2}$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Tambahkan $y^{2}$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d g}{d x} + x y = x^{2} + x y - y^{2} + y^{2}$

Langkah 9.1.2

Kurangkan $x y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} = x^{2} + x y - y^{2} + y^{2} - x y$

Langkah 9.1.3

Gabungkan suku balikan dalam $x^{2} + x y - y^{2} + y^{2} - x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.3.1

Tambahkan $- y^{2}$ dan $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} + x y + 0 - x y$

Langkah 9.1.3.2

Tambahkan $x^{2} + x y$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} + x y - x y$

Langkah 9.1.3.3

Kurangi $x y$ dengan $x y$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} + 0$

Langkah 9.1.3.4

Tambahkan $x^{2}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2}$

Langkah 10

Temukan $x^{2}$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = x^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{2} d x$

Langkah 10.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x^{2} d x$

Langkah 10.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C$

Langkah 11

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y - x y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y - x y^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Langkah 12

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} y - x y^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Langkah 12.2

Gabungkan $\frac{x^{2}}{2}$ dan $y$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y}{2} - x y^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Langkah 12.3

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y}{2} - x y^{2} + \frac{x^{3}}{3} + C$