Kalkulus Contoh

$x^{2} \frac{d y}{d x} - y \sqrt{x} = 0$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Selesaikan $\frac{d y}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tambahkan $y \sqrt{x}$ ke kedua sisi persamaan.

$x^{2} \frac{d y}{d x} = y \sqrt{x}$

Langkah 1.1.2

Bagi setiap suku pada $x^{2} \frac{d y}{d x} = y \sqrt{x}$ dengan $x^{2}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Bagilah setiap suku di $x^{2} \frac{d y}{d x} = y \sqrt{x}$ dengan $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{y \sqrt{x}}{x^{2}}$

Langkah 1.1.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{y \sqrt{x}}{x^{2}}$

Langkah 1.1.2.2.1.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{x^{2}}$

Langkah 1.2

Kelompokkan kembali faktor.

$\frac{d y}{d x} = y \frac{\sqrt{x}}{x^{2}}$

Langkah 1.3

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{\sqrt{x}}{x^{2}})$

Langkah 1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{\sqrt{x}}{x^{2}})$

Langkah 1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{x^{2}}$

Langkah 1.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y} d y = \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Langkah 2.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Pindahkan $x^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \sqrt{x} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Langkah 2.3.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.1

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \sqrt{x} x^{2 \cdot - 1} d x$

Langkah 2.3.1.2.1.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \sqrt{x} x^{- 2} d x$

Langkah 2.3.1.2.2

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2}} x^{- 2} d x$

Langkah 2.3.1.2.3

Kalikan $x^{\frac{1}{2}}$ dengan $x^{- 2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.3.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2} - 2} d x$

Langkah 2.3.1.2.3.2

Untuk menuliskan $- 2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}} d x$

Langkah 2.3.1.2.3.3

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}} d x$

Langkah 2.3.1.2.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{1 - 2 \cdot 2}{2}} d x$

Langkah 2.3.1.2.3.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.3.5.1

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{1 - 4}{2}} d x$

Langkah 2.3.1.2.3.5.2

Kurangi $4$ dengan $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{- 3}{2}} d x$

Langkah 2.3.1.2.3.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- \frac{3}{2}}$ terhadap $x$ adalah $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C_{2}$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Tulis kembali $- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C_{2}$ sebagai $- 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.1

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C}$

Langkah 3.2

Tulis kembali $\ln (| y |) = - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C} = | y |$

Langkah 3.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| y | = e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C}$ .

$| y | = e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C}$

Langkah 3.3.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C}$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali $e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C}$ sebagai $e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}} e^{C}$

Langkah 4.2

Susun kembali $e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}$ dan $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}$

Langkah 4.3

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = C e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}$