Kalkulus Contoh

$y d x = (y e^{y} - 2 x) d y$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial agar sesuai dengan teknik persamaan diferensial Eksak.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kurangkan $(y e^{y} - 2 x) d y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y d x - (y e^{y} - 2 x) d y = 0$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Langkah 3

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = - (y e^{y} - 2 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (y e^{y} - 2 x)]$

Langkah 3.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- (y e^{y} - 2 x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [y e^{y} - 2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [y e^{y} - 2 x]$

Langkah 3.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y e^{y} - 2 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [y e^{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [y e^{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Langkah 3.4

Karena $y e^{y}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $y e^{y}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Langkah 3.5

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Langkah 3.6

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.7

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cdot 1$

Langkah 3.9

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2$

Langkah 4

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $1$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $2$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = 2$

Langkah 4.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$1 = 2$ bukan identitas.

Langkah 5

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $2$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Langkah 5.2

Substitusikan $1$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 - 1}{M}$

Langkah 5.3

Substitusikan $y$ untuk $M$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Substitusikan $y$ untuk $M$ .

$\frac{2 - 1}{y}$

Langkah 5.3.2

Substitusikan $y$ untuk $M$ .

$\frac{1}{y}$

Langkah 5.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{y} d y}$

Langkah 6

Evaluasi integral $e^{\int \frac{1}{y} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |) + C}$

Langkah 6.2

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |)} + C$

Langkah 6.2.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$μ (x, y) = | y | + C$

Langkah 7

Kalikan kedua sisi $y d x - (y e^{y} - 2 x) d y = 0$ dengan faktor integral $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$y \cdot y d x - (y e^{y} - 2 x) d y = 0$

Langkah 7.2

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$y^{2} d x - (y e^{y} - 2 x) d y = 0$

Langkah 7.3

Kalikan $- (y e^{y} - 2 x)$ dengan $y$ .

$y^{2} d x - (y e^{y} - 2 x) y d y = 0$

Langkah 7.4

Terapkan sifat distributif.

$y^{2} d x + (- (y e^{y}) - (- 2 x)) y d y = 0$

Langkah 7.5

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$y^{2} d x + (- y e^{y} + 2 x) y d y = 0$

Langkah 7.6

Terapkan sifat distributif.

$y^{2} d x + (- y e^{y} y + 2 x y) d y = 0$

Langkah 7.7

Kalikan $y$ dengan $y$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.7.1

Pindahkan $y$ .

$y^{2} d x + (- (y \cdot y) e^{y} + 2 x y) d y = 0$

Langkah 7.7.2

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$y^{2} d x + (- y^{2} e^{y} + 2 x y) d y = 0$

Langkah 8

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y^{2} d x$

Langkah 9

Integralkan $M (x, y) = y^{2}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = y^{2} x + C$

Langkah 10

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = y^{2} x + g (y)$

Langkah 11

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - y^{2} e^{y} + 2 x y$

Langkah 12

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} x + g (y)] = - y^{2} e^{y} + 2 x y$

Langkah 12.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y^{2} x + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - y^{2} e^{y} + 2 x y$

Langkah 12.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [y^{2} x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $y^{2} x$ terhadap $y$ adalah $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - y^{2} e^{y} + 2 x y$

Langkah 12.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$x (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - y^{2} e^{y} + 2 x y$

Langkah 12.3.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$2 x y + \frac{d}{d y} [g (y)] = - y^{2} e^{y} + 2 x y$

Langkah 12.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$2 x y + \frac{d g}{d y} = - y^{2} e^{y} + 2 x y$

Langkah 12.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d y} + 2 x y = - y^{2} e^{y} + 2 x y$

Langkah 13

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d y}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Kurangkan $2 x y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} = - y^{2} e^{y} + 2 x y - 2 x y$

Langkah 13.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $- y^{2} e^{y} + 2 x y - 2 x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.2.1

Kurangi $2 x y$ dengan $2 x y$ .

$\frac{d g}{d y} = - y^{2} e^{y} + 0$

Langkah 13.1.2.2

Tambahkan $- y^{2} e^{y}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - y^{2} e^{y}$

Langkah 14

Temukan $- y^{2} e^{y}$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = - y^{2} e^{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y^{2} e^{y} d y$

Langkah 14.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - y^{2} e^{y} d y$

Langkah 14.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$g (y) = - \int y^{2} e^{y} d y$

Langkah 14.4

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = y^{2}$ dan $d v = e^{y}$ .

$g (y) = - (y^{2} e^{y} - \int e^{y} (2 y) d y)$

Langkah 14.5

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$g (y) = - (y^{2} e^{y} - (2 \int e^{y} (y) d y))$

Langkah 14.6

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$g (y) = - (y^{2} e^{y} - 2 \int e^{y} (y) d y)$

Langkah 14.7

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = y$ dan $d v = e^{y}$ .

$g (y) = - (y^{2} e^{y} - 2 (y e^{y} - \int e^{y} d y))$

Langkah 14.8

Integral dari $e^{y}$ terhadap $y$ adalah $e^{y}$ .

$g (y) = - (y^{2} e^{y} - 2 (y e^{y} - (e^{y} + C)))$

Langkah 14.9

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.9.1

Tulis kembali $- (y^{2} e^{y} - 2 (y e^{y} - (e^{y} + C)))$ sebagai $- (y^{2} e^{y} - 2 y e^{y} + 2 e^{y}) + C$ .

$g (y) = - (y^{2} e^{y} - 2 y e^{y} + 2 e^{y}) + C$

Langkah 14.9.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.9.2.1

Terapkan sifat distributif.

$g (y) = - (y^{2} e^{y}) - (- 2 y e^{y}) - (2 e^{y}) + C$

Langkah 14.9.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.9.2.2.1

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$g (y) = - y^{2} e^{y} + 2 (y e^{y}) - (2 e^{y}) + C$

Langkah 14.9.2.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$g (y) = - y^{2} e^{y} + 2 (y e^{y}) - 2 e^{y} + C$

$g (y) = - y^{2} e^{y} + 2 y e^{y} - 2 e^{y} + C$

Langkah 15

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = y^{2} x + g (y)$ .

$f (x, y) = y^{2} x - y^{2} e^{y} + 2 y e^{y} - 2 e^{y} + C$