Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} + 4 y - e^{- x} = 0$ , $y (0) = \frac{4}{3}$

Langkah 1

Tambahkan $e^{- x}$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d y}{d x} + 4 y = e^{- x}$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int 4 d x}$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$e^{4 x + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{4 x}$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $e^{4 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + e^{4 x} (4 y) = e^{4 x} e^{- x}$

Langkah 3.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = e^{4 x} e^{- x}$

Langkah 3.3

Kalikan $e^{4 x}$ dengan $e^{- x}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = e^{4 x - x}$

Langkah 3.3.2

Kurangi $x$ dengan $4 x$ .

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = e^{3 x}$

Langkah 3.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = e^{3 x}$ .

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 y e^{4 x} = e^{3 x}$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [e^{4 x} y] = e^{3 x}$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [e^{4 x} y] d x = \int e^{3 x} d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$e^{4 x} y = \int e^{3 x} d x$

Langkah 7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Biarkan $u = 3 x$ . Kemudian $d u = 3 d x$ sehingga $\frac{1}{3} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Biarkan $u = 3 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.1

Diferensialkan $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Langkah 7.1.1.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 7.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Langkah 7.1.1.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3$

Langkah 7.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$e^{4 x} y = \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Langkah 7.2

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{3}$ .

$e^{4 x} y = \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Langkah 7.3

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$e^{4 x} y = \frac{1}{3} \int e^{u} d u$

Langkah 7.4

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$e^{4 x} y = \frac{1}{3} (e^{u} + C)$

Langkah 7.5

Sederhanakan.

$e^{4 x} y = \frac{1}{3} e^{u} + C$

Langkah 7.6

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 x$ .

$e^{4 x} y = \frac{1}{3} e^{3 x} + C$

Langkah 8

Bagi setiap suku pada $e^{4 x} y = \frac{1}{3} e^{3 x} + C$ dengan $e^{4 x}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagilah setiap suku di $e^{4 x} y = \frac{1}{3} e^{3 x} + C$ dengan $e^{4 x}$ .

$\frac{e^{4 x} y}{e^{4 x}} = \frac{\frac{1}{3} e^{3 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{4 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{4 x} y}{e^{4 x}} = \frac{\frac{1}{3} e^{3 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Langkah 8.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{3} e^{3 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Langkah 8.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $e^{3 x}$ dan $e^{4 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1.1

Faktorkan $e^{4 x}$ dari $\frac{1}{3} e^{3 x}$ .

$y = \frac{e^{4 x} (\frac{1}{3} e^{- x})}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Langkah 8.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$y = \frac{e^{4 x} (\frac{1}{3} e^{- x})}{e^{4 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Langkah 8.3.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{e^{4 x} (\frac{1}{3} e^{- x})}{e^{4 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Langkah 8.3.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{\frac{1}{3} e^{- x}}{1} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Langkah 8.3.1.1.2.4

Bagilah $\frac{1}{3} e^{- x}$ dengan $1$ .

$y = \frac{1}{3} e^{- x} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Langkah 8.3.1.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $e^{- x}$ .

$y = \frac{e^{- x}}{3} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Langkah 9

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $C$ dengan mensubstitusikan $0$ untuk $x$ dan $\frac{4}{3}$ untuk $y$ padda $y = \frac{e^{- x}}{3} + \frac{C}{e^{4 x}}$ .

$\frac{4}{3} = \frac{e^{0}}{3} + \frac{C}{e^{4 \cdot 0}}$

Langkah 10

Selesaikan $C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{e^{0}}{3} + \frac{C}{e^{4 \cdot 0}} = \frac{4}{3}$ .

$\frac{e^{0}}{3} + \frac{C}{e^{4 \cdot 0}} = \frac{4}{3}$

Langkah 10.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{C}{e^{4 \cdot 0}} = \frac{4}{3}$

Langkah 10.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.2.1

Kalikan $4$ dengan $0$ .

$\frac{1}{3} + \frac{C}{e^{0}} = \frac{4}{3}$

Langkah 10.2.2.2

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{C}{1} = \frac{4}{3}$

Langkah 10.2.3

Bagilah $C$ dengan $1$ .

$\frac{1}{3} + C = \frac{4}{3}$

Langkah 10.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $C$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1

Kurangkan $\frac{1}{3}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$C = \frac{4}{3} - \frac{1}{3}$

Langkah 10.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$C = \frac{4 - 1}{3}$

Langkah 10.3.3

Kurangi $1$ dengan $4$ .

$C = \frac{3}{3}$

Langkah 10.3.4

Bagilah $3$ dengan $3$ .

$C = 1$

Langkah 11

Substitusikan $1$ untuk $C$ dalam $y = \frac{e^{- x}}{3} + \frac{C}{e^{4 x}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Substitusikan $1$ untuk $C$ .

$y = \frac{e^{- x}}{3} + \frac{1}{e^{4 x}}$