Kalkulus Contoh

$y \ln (y) d x + x d y = 0$

Langkah 1

Kurangkan $y \ln (y) d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x d y = - y \ln (y) d x$

Langkah 2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{x y \ln (y)}$ .

$\frac{1}{x y \ln (y)} x d y = \frac{1}{x y \ln (y)} (- y \ln (y)) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Faktorkan $x$ dari $x y \ln (y)$ .

$\frac{1}{x (y \ln (y))} x d y = \frac{1}{x y \ln (y)} (- y \ln (y)) d x$

Langkah 3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{x (y \ln (y))} x d y = \frac{1}{x y \ln (y)} (- y \ln (y)) d x$

Langkah 3.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = \frac{1}{x y \ln (y)} (- y \ln (y)) d x$

Langkah 3.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = - \frac{1}{x y \ln (y)} (y \ln (y)) d x$

Langkah 3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y \ln (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{x y \ln (y)}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = \frac{- 1}{x y \ln (y)} (y \ln (y)) d x$

Langkah 3.3.2

Faktorkan $y \ln (y)$ dari $x y \ln (y)$ .

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = \frac{- 1}{y \ln (y) (x)} (y \ln (y)) d x$

Langkah 3.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = \frac{- 1}{y \ln (y) x} (y \ln (y)) d x$

Langkah 3.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = \frac{- 1}{x} d x$

Langkah 3.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y \ln (y)} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Biarkan $u = \ln (y)$ . Kemudian $d u = \frac{1}{y} d y$ sehingga $y d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Biarkan $u = \ln (y)$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1.1

Diferensialkan $\ln (y)$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (y)]$

Langkah 4.2.1.1.2

Turunan dari $\ln (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y}$

Langkah 4.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.2.2

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\ln (y)$ .

$\ln (| \ln (y) |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\ln (| \ln (y) |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.3.2

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$\ln (| \ln (y) |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Langkah 4.3.3

Sederhanakan.

$\ln (| \ln (y) |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Langkah 4.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| \ln (y) |) = - \ln (| x |) + C$

Langkah 5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| \ln (y) |) + \ln (| x |) = C$

Langkah 5.2

Gunakan sifat hasil kali dari logaritma, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| \ln (y) | | x |) = C$

Langkah 5.3

Untuk mengalikan nilai-nilai mutlak, kalikan suku-suku di dalam masing-masing nilai mutlaknya.

$\ln (| \ln (y) x |) = C$

Langkah 5.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $\ln (| \ln (y) x |)$ .

$\ln (| x \ln (y) |) = C$

Langkah 5.5

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| x \ln (y) |)} = e^{C}$

Langkah 5.6

Tulis kembali $\ln (| x \ln (y) |) = C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | x \ln (y) |$

Langkah 5.7

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| x \ln (y) | = e^{C}$ .

$| x \ln (y) | = e^{C}$

Langkah 5.7.2

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.2.1

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$x \ln (y) = \pm e^{C}$

Langkah 5.7.2.2

Bagi setiap suku pada $x \ln (y) = \pm e^{C}$ dengan $x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.2.2.1

Bagilah setiap suku di $x \ln (y) = \pm e^{C}$ dengan $x$ .

$\frac{x \ln (y)}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x}$

Langkah 5.7.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \ln (y)}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x}$

Langkah 5.7.2.2.2.1.2

Bagilah $\ln (y)$ dengan $1$ .

$\ln (y) = \frac{\pm e^{C}}{x}$

Langkah 5.7.2.3

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (y)} = e^{\frac{\pm e^{C}}{x}}$

Langkah 5.7.2.4

Tulis kembali $\ln (y) = \frac{\pm e^{C}}{x}$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{\pm e^{C}}{x}} = y$

Langkah 5.7.2.5

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $y = e^{\frac{\pm e^{C}}{x}}$ .

$y = e^{\frac{\pm e^{C}}{x}}$

Langkah 6

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = e^{\frac{C}{x}}$