Kalkulus Contoh

$x^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} + x y + 4 x^{2}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai fungsi dari $\frac{y}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Bagi setiap suku pada $x^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} + x y + 4 x^{2}$ dengan $x^{2}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Bagilah setiap suku di $x^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} + x y + 4 x^{2}$ dengan $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x y}{x^{2}} + \frac{4 x^{2}}{x^{2}}$

Langkah 1.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x y}{x^{2}} + \frac{4 x^{2}}{x^{2}}$

Langkah 1.1.2.1.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x y}{x^{2}} + \frac{4 x^{2}}{x^{2}}$

Langkah 1.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $x$ dan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1.1.1

Faktorkan $x$ dari $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x (y)}{x^{2}} + \frac{4 x^{2}}{x^{2}}$

Langkah 1.1.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1.1.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x (y)}{x \cdot x} + \frac{4 x^{2}}{x^{2}}$

Langkah 1.1.3.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x y}{x \cdot x} + \frac{4 x^{2}}{x^{2}}$

Langkah 1.1.3.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{y}{x} + \frac{4 x^{2}}{x^{2}}$

Langkah 1.1.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{y}{x} + \frac{4 x^{2}}{x^{2}}$

Langkah 1.1.3.1.2.2

Bagilah $4$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{y}{x} + 4$

Langkah 1.2

Tulis kembali $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ sebagai ${(\frac{y}{x})}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{y}{x})}^{2} + \frac{y}{x} + 4$

Langkah 2

Biarkan $V = \frac{y}{x}$ . Substitusikan $V$ ke $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V^{2} + V + 4$

Langkah 3

Selesaikan $V = \frac{y}{x}$ untuk $y$ .

$y = V x$

Langkah 4

Gunakan kaidah hasil kali untuk mencari turunan dari $y = V x$ terhadap $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Langkah 5

Substitusikan $x \frac{d V}{d x} + V$ untuk $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V^{2} + V + 4$

Langkah 6

Selesaikan persamaan diferensial tersubstitusi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Selesaikan $\frac{d V}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d V}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1.1

Kurangkan $V$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x \frac{d V}{d x} = V^{2} + V + 4 - V$

Langkah 6.1.1.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $V^{2} + V + 4 - V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1.2.1

Kurangi $V$ dengan $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = V^{2} + 0 + 4$

Langkah 6.1.1.1.2.2

Tambahkan $V^{2}$ dan $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = V^{2} + 4$

Langkah 6.1.1.2

Bagi setiap suku pada $x \frac{d V}{d x} = V^{2} + 4$ dengan $x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.1

Bagilah setiap suku di $x \frac{d V}{d x} = V^{2} + 4$ dengan $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V^{2}}{x} + \frac{4}{x}$

Langkah 6.1.1.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V^{2}}{x} + \frac{4}{x}$

Langkah 6.1.1.2.2.1.2

Bagilah $\frac{d V}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{2}}{x} + \frac{4}{x}$

Langkah 6.1.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{2} + 4}{x}$

Langkah 6.1.3

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{V^{2} + 4}$ .

$\frac{1}{V^{2} + 4} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V^{2} + 4} \cdot \frac{V^{2} + 4}{x}$

Langkah 6.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $V^{2} + 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{V^{2} + 4} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V^{2} + 4} \cdot \frac{V^{2} + 4}{x}$

Langkah 6.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{V^{2} + 4} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Langkah 6.1.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{V^{2} + 4} d V = \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{V^{2} + 4} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1

Susun kembali $V^{2}$ dan $4$ .

$\int \frac{1}{4 + V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.1.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$\int \frac{1}{2^{2} + V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.2

Integral dari $\frac{1}{2^{2} + V^{2}}$ terhadap $V$ adalah $\frac{1}{2} \arctan (\frac{V}{2}) + C_{1}$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{V}{2}) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.3.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\arctan (\frac{V}{2})$ .

$\frac{\arctan (\frac{V}{2})}{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.3.2

Tulis kembali $\frac{\arctan (\frac{V}{2})}{2} + C_{1}$ sebagai $\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} V) + C_{1}$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} V) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.3

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} V) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Langkah 6.2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} V) = \ln (| x |) + C$

Langkah 6.3

Selesaikan $V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Kalikan setiap suku pada $\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} V) = \ln (| x |) + C$ dengan $2$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1

Kalikan setiap suku dalam $\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} V) = \ln (| x |) + C$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} V) \cdot 2 = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Langkah 6.3.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.2.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $V$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{V}{2}) \cdot 2 = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Langkah 6.3.1.2.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\arctan (\frac{V}{2})$ .

$\frac{\arctan (\frac{V}{2})}{2} \cdot 2 = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Langkah 6.3.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\arctan (\frac{V}{2})}{2} \cdot 2 = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Langkah 6.3.1.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\arctan (\frac{V}{2}) = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Langkah 6.3.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.3.1.1

Kalikan $\ln (| x |) \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.3.1.1.1

Susun kembali $\ln (| x |)$ dan $2$ .

$\arctan (\frac{V}{2}) = 2 \cdot \ln (| x |) + C \cdot 2$

Langkah 6.3.1.3.1.1.2

Sederhanakan $2 \cdot \ln (| x |)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$\arctan (\frac{V}{2}) = \ln ({| x |}^{2}) + C \cdot 2$

Langkah 6.3.1.3.1.2

Hapus nilai mutlak dalam ${| x |}^{2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$\arctan (\frac{V}{2}) = \ln (x^{2}) + C \cdot 2$

Langkah 6.3.1.3.1.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $C$ .

$\arctan (\frac{V}{2}) = \ln (x^{2}) + 2 C$

Langkah 6.3.2

Ambil balikan arctangen dari kedua sisi persamaan untuk mengambil $V$ dari dalam arctangen.

$\frac{V}{2} = \tan (\ln (x^{2}) + 2 C)$

Langkah 6.3.3

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 \frac{V}{2} = 2 \tan (\ln (x^{2}) + 2 C)$

Langkah 6.3.4

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.4.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{V}{2} = 2 \tan (\ln (x^{2}) + 2 C)$

Langkah 6.3.4.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$V = 2 \tan (\ln (x^{2}) + 2 C)$

Langkah 6.4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$V = 2 \tan (\ln (x^{2}) + C)$

Langkah 7

Substitusikan $\frac{y}{x}$ untuk $V$ .

$\frac{y}{x} = 2 \tan (\ln (x^{2}) + C)$

Langkah 8

Selesaikan $\frac{y}{x} = 2 \tan (\ln (x^{2}) + C)$ untuk $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Kalikan kedua ruas dengan $x$ .

$\frac{y}{x} x = 2 \tan (\ln (x^{2}) + C) x$

Langkah 8.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{x} x = 2 \tan (\ln (x^{2}) + C) x$

Langkah 8.2.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = 2 \tan (\ln (x^{2}) + C) x$

Langkah 8.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $2 \tan (\ln (x^{2}) + C) x$ .

$y = 2 x \tan (\ln (x^{2}) + C)$