Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y + 3 y^{2}}{x^{2} + 2 x y}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai fungsi dari $\frac{y}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan $\frac{2 x y + 3 y^{2}}{x^{2} + 2 x y}$ dengan $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y + 3 y^{2}}{x^{2} + 2 x y} \cdot \frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$

Langkah 1.2

Kalikan $\frac{2 x y + 3 y^{2}}{x^{2} + 2 x y}$ dengan $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(2 x y + 3 y^{2}) \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Langkah 1.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y \frac{1}{x^{2}} + 3 y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Langkah 1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Faktorkan $x$ dari $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (2 y) \frac{1}{x^{2}} + 3 y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Langkah 1.4.2

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (2 y) \frac{1}{x \cdot x} + 3 y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Langkah 1.4.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (2 y) \frac{1}{x \cdot x} + 3 y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Langkah 1.4.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y \frac{1}{x} + 3 y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Langkah 1.5

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{2}{x} + 3 y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Langkah 1.6

Gabungkan $y$ dan $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + 3 y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Langkah 1.7

Kalikan $3 y^{2} \frac{1}{x^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + y^{2} \frac{3}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Langkah 1.7.2

Gabungkan $y^{2}$ dan $\frac{3}{x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Langkah 1.8

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{x^{2} \frac{1}{x^{2}} + 2 x y \frac{1}{x^{2}}}$

Langkah 1.9

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.9.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{x^{2} \frac{1}{x^{2}} + 2 x y \frac{1}{x^{2}}}$

Langkah 1.9.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{1 + 2 x y \frac{1}{x^{2}}}$

Langkah 1.10

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.10.1

Faktorkan $x$ dari $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{1 + x (2 y) \frac{1}{x^{2}}}$

Langkah 1.10.2

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{1 + x (2 y) \frac{1}{x \cdot x}}$

Langkah 1.10.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{1 + x (2 y) \frac{1}{x \cdot x}}$

Langkah 1.10.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{1 + 2 y \frac{1}{x}}$

Langkah 1.11

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{1 + y \frac{2}{x}}$

Langkah 1.12

Gabungkan $y$ dan $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{1 + \frac{y \cdot 2}{x}}$

Langkah 1.13

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.13.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{2 \cdot y}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{1 + \frac{y \cdot 2}{x}}$

Langkah 1.13.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{2 y}{x} + \frac{3 y^{2}}{x^{2}}}{1 + \frac{y \cdot 2}{x}}$

Langkah 1.14

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{2 y}{x} + \frac{3 y^{2}}{x^{2}}}{1 + \frac{2 y}{x}}$

Langkah 1.15

Faktorkan $\frac{y}{x}$ dari $\frac{2 y}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.15.1

Faktorkan $\frac{y}{x}$ dari $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x} \cdot 2 + \frac{3 y^{2}}{x^{2}}}{1 + \frac{2 y}{x}}$

Langkah 1.15.2

Susun kembali $\frac{y}{x}$ dan $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot \frac{y}{x} + \frac{3 y^{2}}{x^{2}}}{1 + \frac{2 y}{x}}$

Langkah 1.16

Faktorkan $\frac{y}{x}$ dari $\frac{3 y^{2}}{x^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.16.1

Faktorkan $\frac{y}{x}$ dari $\frac{3 y^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot \frac{y}{x} + \frac{y}{x} \cdot \frac{3 y}{x}}{1 + \frac{2 y}{x}}$

Langkah 1.16.2

Susun kembali $\frac{y}{x}$ dan $\frac{3 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot \frac{y}{x} + \frac{3 y}{x} \cdot \frac{y}{x}}{1 + \frac{2 y}{x}}$

Langkah 1.17

Faktorkan $\frac{y}{x}$ dari $\frac{3 y}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.17.1

Faktorkan $\frac{y}{x}$ dari $\frac{3 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot \frac{y}{x} + \frac{y}{x} \cdot 3 \frac{y}{x}}{1 + \frac{2 y}{x}}$

Langkah 1.17.2

Susun kembali $\frac{y}{x}$ dan $3$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot \frac{y}{x} + 3 \cdot \frac{y}{x} \frac{y}{x}}{1 + \frac{2 y}{x}}$

Langkah 1.18

Faktorkan $\frac{y}{x}$ dari $\frac{2 y}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.18.1

Faktorkan $\frac{y}{x}$ dari $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot \frac{y}{x} + 3 \cdot \frac{y}{x} \frac{y}{x}}{1 + \frac{y}{x} \cdot 2}$

Langkah 1.18.2

Susun kembali $\frac{y}{x}$ dan $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot \frac{y}{x} + 3 \cdot \frac{y}{x} \frac{y}{x}}{1 + 2 \cdot \frac{y}{x}}$

Langkah 2

Biarkan $V = \frac{y}{x}$ . Substitusikan $V$ ke $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot V + 3 \cdot V \cdot V}{1 + 2 \cdot V}$

Langkah 3

Selesaikan $V = \frac{y}{x}$ untuk $y$ .

$y = V x$

Langkah 4

Gunakan kaidah hasil kali untuk mencari turunan dari $y = V x$ terhadap $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Langkah 5

Substitusikan $x \frac{d V}{d x} + V$ untuk $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{2 \cdot V + 3 \cdot V \cdot V}{1 + 2 \cdot V}$

Langkah 6

Selesaikan persamaan diferensial tersubstitusi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Selesaikan $\frac{d V}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1

Faktorkan $V$ dari $2 \cdot V + 3 \cdot V \cdot V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1.1

Faktorkan $V$ dari $2 \cdot V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V \cdot 2 + 3 \cdot V \cdot V}{1 + 2 \cdot V}$

Langkah 6.1.1.1.2

Faktorkan $V$ dari $3 \cdot V \cdot V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V \cdot 2 + V (3 V)}{1 + 2 \cdot V}$

Langkah 6.1.1.1.3

Faktorkan $V$ dari $V \cdot 2 + V (3 V)$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 \cdot V}$

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V}$

Langkah 6.1.1.2

Kurangkan $V$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V} - V$

Langkah 6.1.1.3

Bagi setiap suku pada $x \frac{d V}{d x} = \frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V} - V$ dengan $x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.1

Bagilah setiap suku di $x \frac{d V}{d x} = \frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V} - V$ dengan $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Langkah 6.1.1.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Langkah 6.1.1.3.2.1.2

Bagilah $\frac{d V}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Langkah 6.1.1.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V} - V}{x}$

Langkah 6.1.1.3.3.2

Untuk menuliskan $- V$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{1 + 2 V}{1 + 2 V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V} - V \cdot \frac{1 + 2 V}{1 + 2 V}}{x}$

Langkah 6.1.1.3.3.3

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.3.3.1

Gabungkan $- V$ dan $\frac{1 + 2 V}{1 + 2 V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V} + \frac{- V (1 + 2 V)}{1 + 2 V}}{x}$

Langkah 6.1.1.3.3.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V) - V (1 + 2 V)}{1 + 2 V}}{x}$

Langkah 6.1.1.3.3.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.3.4.1

Faktorkan $V$ dari $V (2 + 3 V) - V (1 + 2 V)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.3.4.1.1

Faktorkan $V$ dari $- V (1 + 2 V)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V) + V (- (1 + 2 V))}{1 + 2 V}}{x}$

Langkah 6.1.1.3.3.4.1.2

Faktorkan $V$ dari $V (2 + 3 V) + V (- (1 + 2 V))$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V - (1 + 2 V))}{1 + 2 V}}{x}$

Langkah 6.1.1.3.3.4.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V - 1 \cdot 1 - (2 V))}{1 + 2 V}}{x}$

Langkah 6.1.1.3.3.4.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V - 1 - (2 V))}{1 + 2 V}}{x}$

Langkah 6.1.1.3.3.4.4

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V - 1 - 2 V)}{1 + 2 V}}{x}$

Langkah 6.1.1.3.3.4.5

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (3 V + 1 - 2 V)}{1 + 2 V}}{x}$

Langkah 6.1.1.3.3.4.6

Kurangi $2 V$ dengan $3 V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (V + 1)}{1 + 2 V}}{x}$

Langkah 6.1.1.3.3.5

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (V + 1)}{1 + 2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Langkah 6.1.1.3.3.6

Kalikan $\frac{V (V + 1)}{1 + 2 V}$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (V + 1)}{(1 + 2 V) x}$

Langkah 6.1.1.3.3.7

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{V (V + 1)}{(1 + 2 V) x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (V + 1)}{x (1 + 2 V)}$

Langkah 6.1.2

Kelompokkan kembali faktor.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (V + 1)}{1 + 2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Langkah 6.1.3

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)}$ .

$\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} (\frac{V (V + 1)}{1 + 2 V} \cdot \frac{1}{x})$

Langkah 6.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.4.1

Kalikan $\frac{V (V + 1)}{1 + 2 V}$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \cdot \frac{V (V + 1)}{(1 + 2 V) x}$

Langkah 6.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan dari $1 + 2 V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.4.2.1

Faktorkan $1 + 2 V$ dari $(1 + 2 V) x$ .

$\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \cdot \frac{V (V + 1)}{(1 + 2 V) (x)}$

Langkah 6.1.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \cdot \frac{V (V + 1)}{(1 + 2 V) x}$

Langkah 6.1.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V (V + 1)} \cdot \frac{V (V + 1)}{x}$

Langkah 6.1.4.3

Batalkan faktor persekutuan dari $V (V + 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.4.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V (V + 1)} \cdot \frac{V (V + 1)}{x}$

Langkah 6.1.4.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Langkah 6.1.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} d V = \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Tulis pecahan menggunakan penguraian pecahan parsial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1

Uraikan pecahan dan kalikan dengan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1.1

Untuk setiap faktor pada penyebut, buat pecahan baru menggunakan faktor sebagai penyebutnya, dan nilai yang tidak diketahui sebagai pembilangnya. karena faktor pada penyebutnya linear, letakkan sebuah variabel di tempat $B$ .

$\frac{A}{V} + \frac{B}{V + 1}$

Langkah 6.2.2.1.1.2

Kalikan setiap pecahan dalam persamaan dengan penyebut dari pernyataan awalnya. Dalam hal ini, penyebutnya adalah $V (V + 1)$ .

$\frac{(1 + 2 V) (V (V + 1))}{V (V + 1)} = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Langkah 6.2.2.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{(1 + 2 V) (V (V + 1))}{V (V + 1)} = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Langkah 6.2.2.1.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{(1 + 2 V) (V + 1)}{V + 1} = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Langkah 6.2.2.1.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $V + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{(1 + 2 V) (V + 1)}{V + 1} = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Langkah 6.2.2.1.1.4.2

Bagilah $1 + 2 V$ dengan $1$ .

$1 + 2 V = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Langkah 6.2.2.1.1.5

Susun kembali $1$ dan $2 V$ .

$2 V + 1 = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Langkah 6.2.2.1.1.6

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1.6.1

Batalkan faktor persekutuan dari $V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1.6.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 V + 1 = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Langkah 6.2.2.1.1.6.1.2

Bagilah $A (V + 1)$ dengan $1$ .

$2 V + 1 = A (V + 1) + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Langkah 6.2.2.1.1.6.2

Terapkan sifat distributif.

$2 V + 1 = A V + A \cdot 1 + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Langkah 6.2.2.1.1.6.3

Kalikan $A$ dengan $1$ .

$2 V + 1 = A V + A + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Langkah 6.2.2.1.1.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $V + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 V + 1 = A V + A + \frac{B (V (V + 1))}{V + 1}$

Langkah 6.2.2.1.1.6.4.2

Bagilah $(B) (V)$ dengan $1$ .

$2 V + 1 = A V + A + (B) (V)$

$2 V + 1 = A V + A + B V$

Langkah 6.2.2.1.1.7

Pindahkan $A$ .

$2 V + 1 = A V + B V + A$

Langkah 6.2.2.1.2

Buatlah persamaan untuk variabel pecahan parsial dan gunakan untuk membuat sistem persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.2.1

Buat persamaan dari variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien $V$ dari masing-masing sisi persamaan. Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$2 = A + B$

Langkah 6.2.2.1.2.2

Buat persamaan untuk variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien suku yang tidak memuat $V$ . Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$1 = A$

Langkah 6.2.2.1.2.3

Buat sistem persamaan untuk menentukan koefisien dari pecahan parsialnya.

$2 = A + B$

$1 = A$

$2 = A + B$

$1 = A$

Langkah 6.2.2.1.3

Selesaikan sistem persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $A = 1$ .

$A = 1$

$2 = A + B$

Langkah 6.2.2.1.3.2

Substitusikan semua kemunculan $A$ dengan $1$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.3.2.1

Substitusikan semua kemunculan $A$ dalam $2 = A + B$ dengan $1$ .

$2 = (1) + B$

$A = 1$

Langkah 6.2.2.1.3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.3.2.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$2 = 1 + B$

$A = 1$

Langkah 6.2.2.1.3.3

Selesaikan $B$ dalam $2 = 1 + B$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $1 + B = 2$ .

$1 + B = 2$

$A = 1$

Langkah 6.2.2.1.3.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $B$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.3.3.2.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$B = 2 - 1$

$A = 1$

Langkah 6.2.2.1.3.3.2.2

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$B = 1$

$A = 1$

$B = 1$

$A = 1$

$B = 1$

$A = 1$

Langkah 6.2.2.1.3.4

Selesaikan sistem persamaan tersebut.

$B = 1 A = 1$

Langkah 6.2.2.1.3.5

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$B = 1, A = 1$

Langkah 6.2.2.1.4

Ganti masing-masing koefisien pecahan parsial dalam $\frac{A}{V} + \frac{B}{V + 1}$ dengan nilai-nilai yang didapat dari $A$ dan $B$ .

$\frac{1}{V} + \frac{1}{V + 1}$

Langkah 6.2.2.1.5

Hilangkan nol dari pernyataan tersebut.

$\int \frac{1}{V} + \frac{1}{V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int \frac{1}{V} d V + \int \frac{1}{V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.3

Integral dari $\frac{1}{V}$ terhadap $V$ adalah $\ln (| V |)$ .

$\ln (| V |) + C_{1} + \int \frac{1}{V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.4

Biarkan $u = V + 1$ . Kemudian $d u = d V$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.4.1

Biarkan $u = V + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d V}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.4.1.1

Diferensialkan $V + 1$ .

$\frac{d}{d V} [V + 1]$

Langkah 6.2.2.4.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $V + 1$ terhadap $V$ adalah $\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [1]$ .

$\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [1]$

Langkah 6.2.2.4.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ adalah $n V^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d V} [1]$

Langkah 6.2.2.4.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $V$ , turunan dari $1$ terhadap $V$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 6.2.2.4.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 6.2.2.4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\ln (| V |) + C_{1} + \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.5

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\ln (| V |) + C_{1} + \ln (| u |) + C_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.6.1

Sederhanakan.

$\ln (| V |) + \ln (| u |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.6.2.1

Gunakan sifat hasil kali dari logaritma, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| V | | u |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.6.2.2

Untuk mengalikan nilai-nilai mutlak, kalikan suku-suku di dalam masing-masing nilai mutlaknya.

$\ln (| V u |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.7

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $V + 1$ .

$\ln (| V (V + 1) |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.3

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$\ln (| V (V + 1) |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

Langkah 6.2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| V (V + 1) |) = \ln (| x |) + C$

Langkah 7

Substitusikan $\frac{y}{x}$ untuk $V$ .

$\ln (| \frac{y}{x} (\frac{y}{x} + 1) |) = \ln (| x |) + C$

Langkah 8

Selesaikan $\ln (| \frac{y}{x} (\frac{y}{x} + 1) |) = \ln (| x |) + C$ untuk $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| \frac{y}{x} \cdot (\frac{y}{x} + 1) |) - \ln (| x |) = C$

Langkah 8.2

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \frac{y}{x} \cdot (\frac{y}{x} + 1) |}{| x |}) = C$

Langkah 8.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Kalikan $\frac{y}{x}$ dengan $\frac{y}{x} + 1$ .

$\ln (\frac{| \frac{y (\frac{y}{x} + 1)}{x} |}{| x |}) = C$

Langkah 8.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\ln (\frac{| \frac{y (\frac{y}{x} + \frac{x}{x})}{x} |}{| x |}) = C$

Langkah 8.3.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\ln (\frac{| \frac{y (\frac{y + x}{x})}{x} |}{| x |}) = C$

Langkah 8.3.3

Gabungkan $y$ dan $\frac{y + x}{x}$ .

$\ln (\frac{| \frac{\frac{y (y + x)}{x}}{x} |}{| x |}) = C$

Langkah 8.3.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\ln (\frac{| \frac{y (y + x)}{x} \cdot \frac{1}{x} |}{| x |}) = C$

Langkah 8.3.5

Kalikan $\frac{y (y + x)}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.5.1

Kalikan $\frac{y (y + x)}{x}$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$\ln (\frac{| \frac{y (y + x)}{x \cdot x} |}{| x |}) = C$

Langkah 8.3.5.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{y (y + x)}{x \cdot x} |}{| x |}) = C$

Langkah 8.3.5.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{y (y + x)}{x \cdot x} |}{| x |}) = C$

Langkah 8.3.5.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\ln (\frac{| \frac{y (y + x)}{x^{1 + 1}} |}{| x |}) = C$

Langkah 8.3.5.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{y (y + x)}{x^{2}} |}{| x |}) = C$

Langkah 8.3.6

Hapus suku-suku non-negatif dari nilai mutlak.

$\ln (\frac{\frac{| y (y + x) |}{x^{2}}}{| x |}) = C$

Langkah 8.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\ln (\frac{| y (y + x) |}{x^{2}} \cdot \frac{1}{| x |}) = C$

Langkah 8.5

Gabungkan.

$\ln (\frac{| y (y + x) | \cdot 1}{x^{2} | x |}) = C$

Langkah 8.6

Kalikan $| y (y + x) |$ dengan $1$ .

$\ln (\frac{| y (y + x) |}{x^{2} | x |}) = C$