Kalkulus Contoh

$(4 y + x^{2} y) d x + (y - 1) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = 4 y + x^{2} y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [4 y + x^{2} y]$

Langkah 1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 y + x^{2} y$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [x^{2} y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [x^{2} y]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [4 y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $4$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $4 y$ terhadap $y$ adalah $4 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x^{2} y]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x^{2} y]$

Langkah 1.3.3

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 + \frac{d}{d y} [x^{2} y]$

Langkah 1.4

Evaluasi $\frac{d}{d y} [x^{2} y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Karena $x^{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x^{2} y$ terhadap $y$ adalah $x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 + x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 + x^{2} \cdot 1$

Langkah 1.4.3

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 + x^{2}$

Langkah 1.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{2} + 4$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = y - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y - 1]$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.3

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0$

Langkah 2.5

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $x^{2} + 4$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $0$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Langkah 3.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$x^{2} + 4 = 0$ bukan identitas.

Langkah 4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $0$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Langkah 4.2

Substitusikan $x^{2} + 4$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - (x^{2} + 4)}{M}$

Langkah 4.3

Substitusikan $4 y + x^{2} y$ untuk $M$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $4 y + x^{2} y$ untuk $M$ .

$\frac{0 - (x^{2} + 4)}{4 y + x^{2} y}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{0 - x^{2} - 1 \cdot 4}{4 y + x^{2} y}$

Langkah 4.3.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$\frac{0 - x^{2} - 4}{4 y + x^{2} y}$

Langkah 4.3.2.3

Kurangi $- (- x^{2} - 4)$ dengan $0$ .

$\frac{- x^{2} - 4}{4 y + x^{2} y}$

Langkah 4.3.3

Faktorkan $y$ dari $4 y + x^{2} y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Faktorkan $y$ dari $4 y$ .

$\frac{- x^{2} - 4}{y \cdot 4 + x^{2} y}$

Langkah 4.3.3.2

Faktorkan $y$ dari $x^{2} y$ .

$\frac{- x^{2} - 4}{y \cdot 4 + y x^{2}}$

Langkah 4.3.3.3

Faktorkan $y$ dari $y \cdot 4 + y x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - 4}{y (4 + x^{2})}$

Langkah 4.3.4

Hapus faktor persekutuan dari $- x^{2} - 4$ dan $4 + x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1

Faktorkan $- 1$ dari $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) - 4}{y (4 + x^{2})}$

Langkah 4.3.4.2

Tulis kembali $- 4$ sebagai $- 1 (4)$ .

$\frac{- (x^{2}) - 1 (4)}{y (4 + x^{2})}$

Langkah 4.3.4.3

Faktorkan $- 1$ dari $- (x^{2}) - 1 (4)$ .

$\frac{- (x^{2} + 4)}{y (4 + x^{2})}$

Langkah 4.3.4.4

Tulis kembali $- (x^{2} + 4)$ sebagai $- 1 (x^{2} + 4)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} + 4)}{y (4 + x^{2})}$

Langkah 4.3.4.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{- 1 (x^{2} + 4)}{y (x^{2} + 4)}$

Langkah 4.3.4.6

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1 (x^{2} + 4)}{y (x^{2} + 4)}$

Langkah 4.3.4.7

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 1}{y}$

Langkah 4.3.5

Substitusikan $4 y + x^{2} y$ untuk $M$ .

$- \frac{1}{y}$

Langkah 4.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Langkah 5

Evaluasi integral $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Langkah 5.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

Langkah 5.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Sederhanakan $- \ln (| y |)$ dengan memindahkan $- 1$ ke dalam logaritma.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

Langkah 5.4.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

Langkah 5.4.3

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

Langkah 6

Kalikan kedua sisi $(4 y + x^{2} y) d x + (y - 1) d y = 0$ dengan faktor integral $\frac{1}{y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $4 y + x^{2} y$ dengan $\frac{1}{y}$ .

$(4 y + x^{2} y) \frac{1}{y} d x + (y - 1) d y = 0$

Langkah 6.2

Kalikan $4 y + x^{2} y$ dengan $\frac{1}{y}$ .

$\frac{4 y + x^{2} y}{y} d x + (y - 1) d y = 0$

Langkah 6.3

Faktorkan $y$ dari $4 y + x^{2} y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Faktorkan $y$ dari $4 y$ .

$\frac{y \cdot 4 + x^{2} y}{y} d x + (y - 1) d y = 0$

Langkah 6.3.2

Faktorkan $y$ dari $x^{2} y$ .

$\frac{y \cdot 4 + y x^{2}}{y} d x + (y - 1) d y = 0$

Langkah 6.3.3

Faktorkan $y$ dari $y \cdot 4 + y x^{2}$ .

$\frac{y (4 + x^{2})}{y} d x + (y - 1) d y = 0$

Langkah 6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y (4 + x^{2})}{y} d x + (y - 1) d y = 0$

Langkah 6.4.2

Bagilah $4 + x^{2}$ dengan $1$ .

$(4 + x^{2}) d x + (y - 1) d y = 0$

Langkah 6.5

Kalikan $y - 1$ dengan $\frac{1}{y}$ .

$(4 + x^{2}) d x + (y - 1) \frac{1}{y} d y = 0$

Langkah 6.6

Kalikan $y - 1$ dengan $\frac{1}{y}$ .

$(4 + x^{2}) d x + \frac{y - 1}{y} d y = 0$

Langkah 7

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 4 + x^{2} d x$

Langkah 8

Integralkan $M (x, y) = 4 + x^{2}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = \int 4 d x + \int x^{2} d x$

Langkah 8.2

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = 4 x + C + \int x^{2} d x$

Langkah 8.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 4 x + C + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Langkah 8.4

Sederhanakan.

$f (x, y) = 4 x + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Langkah 9

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = 4 x + \frac{1}{3} x^{3} + g (y)$

Langkah 10

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y - 1}{y}$

Langkah 11

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [4 x + \frac{1}{3} x^{3} + g (y)] = \frac{y - 1}{y}$

Langkah 11.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x + \frac{1}{3} x^{3} + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y - 1}{y}$

Langkah 11.3

Karena $4 x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $4 x$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y - 1}{y}$

Langkah 11.4

Karena $\frac{1}{3} x^{3}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $\frac{1}{3} x^{3}$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$0 + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y - 1}{y}$

Langkah 11.5

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{y - 1}{y}$

Langkah 11.6

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.6.1

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$0 + \frac{d g}{d y} = \frac{y - 1}{y}$

Langkah 11.6.2

Tambahkan $0$ dan $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y - 1}{y}$

Langkah 12

Temukan $\frac{y - 1}{y}$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = \frac{y - 1}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{y - 1}{y} d y$

Langkah 12.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{y - 1}{y} d y$

Langkah 12.3

Pisahkan pecahan menjadi beberapa pecahan.

$g (y) = \int \frac{y}{y} + \frac{- 1}{y} d y$

Langkah 12.4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$g (y) = \int \frac{y}{y} d y + \int \frac{- 1}{y} d y$

Langkah 12.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$g (y) = \int \frac{y}{y} d y + \int \frac{- 1}{y} d y$

Langkah 12.5.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$g (y) = \int d y + \int \frac{- 1}{y} d y$

Langkah 12.5.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$g (y) = \int d y + \int - \frac{1}{y} d y$

Langkah 12.6

Terapkan aturan konstanta.

$g (y) = y + C + \int - \frac{1}{y} d y$

Langkah 12.7

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$g (y) = y + C - \int \frac{1}{y} d y$

Langkah 12.8

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$g (y) = y + C - (\ln (| y |) + C)$

Langkah 12.9

Sederhanakan.

$g (y) = y - \ln (| y |) + C$

Langkah 13

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = 4 x + \frac{1}{3} x^{3} + g (y)$ .

$f (x, y) = 4 x + \frac{1}{3} x^{3} + y - \ln (| y |) + C$

Langkah 14

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$f (x, y) = 4 x + \frac{x^{3}}{3} + y - \ln (| y |) + C$