Kalkulus Contoh

$x \frac{d y}{d x} + 5 y = \frac{\ln (x)}{x}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Bagilah setiap suku di $x \frac{d y}{d x} + 5 y = \frac{\ln (x)}{x}$ dengan $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{5 y}{x} = \frac{\frac{\ln (x)}{x}}{x}$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{5 y}{x} = \frac{\frac{\ln (x)}{x}}{x}$

Langkah 1.2.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{5 y}{x} = \frac{\frac{\ln (x)}{x}}{x}$

Langkah 1.3

Faktorkan $y$ dari $\frac{5 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{5}{x} = \frac{\frac{\ln (x)}{x}}{x}$

Langkah 1.4

Susun kembali $y$ dan $\frac{5}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{5}{x} y = \frac{\frac{\ln (x)}{x}}{x}$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = \frac{5}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int \frac{5}{x} d x}$

Langkah 2.2

Integralkan $\frac{5}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $5$ keluar dari integral.

$e^{5 \int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 2.2.2

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$e^{5 (\ln (| x |) + C)}$

Langkah 2.2.3

Sederhanakan.

$e^{5 \ln (| x |) + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{5 \ln (x)}$

Langkah 2.4

Gunakan kaidah pangkat logaritma.

$e^{\ln (x^{5})}$

Langkah 2.5

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$x^{5}$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $x^{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $x^{5}$ .

$x^{5} \frac{d y}{d x} + x^{5} (\frac{5}{x} y) = x^{5} \frac{\frac{\ln (x)}{x}}{x}$

Langkah 3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Gabungkan $\frac{5}{x}$ dan $y$ .

$x^{5} \frac{d y}{d x} + x^{5} \frac{5 y}{x} = x^{5} \frac{\frac{\ln (x)}{x}}{x}$

Langkah 3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{5}$ .

$x^{5} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{4} \frac{5 y}{x} = x^{5} \frac{\frac{\ln (x)}{x}}{x}$

Langkah 3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{5} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{4} \frac{5 y}{x} = x^{5} \frac{\frac{\ln (x)}{x}}{x}$

Langkah 3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{5} \frac{d y}{d x} + x^{4} (5 y) = x^{5} \frac{\frac{\ln (x)}{x}}{x}$

Langkah 3.2.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$x^{5} \frac{d y}{d x} + 5 x^{4} y = x^{5} \frac{\frac{\ln (x)}{x}}{x}$

Langkah 3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Faktorkan $x$ dari $x^{5}$ .

$x^{5} \frac{d y}{d x} + 5 x^{4} y = x \cdot x^{4} \frac{\frac{\ln (x)}{x}}{x}$

Langkah 3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{5} \frac{d y}{d x} + 5 x^{4} y = x \cdot x^{4} \frac{\frac{\ln (x)}{x}}{x}$

Langkah 3.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{5} \frac{d y}{d x} + 5 x^{4} y = x^{4} \frac{\ln (x)}{x}$

Langkah 3.4

Gabungkan $x^{4}$ dan $\frac{\ln (x)}{x}$ .

$x^{5} \frac{d y}{d x} + 5 x^{4} y = \frac{x^{4} \ln (x)}{x}$

Langkah 3.5

Hapus faktor persekutuan dari $x^{4}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Faktorkan $x$ dari $x^{4} \ln (x)$ .

$x^{5} \frac{d y}{d x} + 5 x^{4} y = \frac{x (x^{3} \ln (x))}{x}$

Langkah 3.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$x^{5} \frac{d y}{d x} + 5 x^{4} y = \frac{x (x^{3} \ln (x))}{x^{1}}$

Langkah 3.5.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$x^{5} \frac{d y}{d x} + 5 x^{4} y = \frac{x (x^{3} \ln (x))}{x \cdot 1}$

Langkah 3.5.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{5} \frac{d y}{d x} + 5 x^{4} y = \frac{x (x^{3} \ln (x))}{x \cdot 1}$

Langkah 3.5.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{5} \frac{d y}{d x} + 5 x^{4} y = \frac{x^{3} \ln (x)}{1}$

Langkah 3.5.2.5

Bagilah $x^{3} \ln (x)$ dengan $1$ .

$x^{5} \frac{d y}{d x} + 5 x^{4} y = x^{3} \ln (x)$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [x^{5} y] = x^{3} \ln (x)$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [x^{5} y] d x = \int x^{3} \ln (x) d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$x^{5} y = \int x^{3} \ln (x) d x$

Langkah 7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \ln (x)$ dan $d v = x^{3}$ .

$x^{5} y = \ln (x) (\frac{1}{4} x^{4}) - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

Langkah 7.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $x^{4}$ .

$x^{5} y = \ln (x) \frac{x^{4}}{4} - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

Langkah 7.2.2

Gabungkan $\ln (x)$ dan $\frac{x^{4}}{4}$ .

$x^{5} y = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

Langkah 7.3

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$x^{5} y = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int x^{4} \frac{1}{x} d x)$

Langkah 7.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Gabungkan $x^{4}$ dan $\frac{1}{x}$ .

$x^{5} y = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x^{4}}{x} d x)$

Langkah 7.4.2

Hapus faktor persekutuan dari $x^{4}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{4}$ .

$x^{5} y = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x} d x)$

Langkah 7.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.2.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$x^{5} y = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} d x)$

Langkah 7.4.2.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$x^{5} y = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} d x)$

Langkah 7.4.2.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{5} y = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} d x)$

Langkah 7.4.2.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{5} y = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x^{3}}{1} d x)$

Langkah 7.4.2.2.5

Bagilah $x^{3}$ dengan $1$ .

$x^{5} y = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int x^{3} d x)$

$x^{5} y = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} \int x^{3} d x$

Langkah 7.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$x^{5} y = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Langkah 7.6

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.1

Tulis kembali $\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ sebagai $\frac{1}{4} \ln (x) x^{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C$ .

$x^{5} y = \frac{1}{4} \ln (x) x^{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C$

Langkah 7.6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.2.1

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $\ln (x)$ .

$x^{5} y = \frac{\ln (x)}{4} x^{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C$

Langkah 7.6.2.2

Gabungkan $\frac{\ln (x)}{4}$ dan $x^{4}$ .

$x^{5} y = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C$

Langkah 7.6.2.3

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$x^{5} y = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} x^{4} + C$

Langkah 7.6.2.4

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$x^{5} y = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{16} x^{4} + C$

$x^{5} y = \frac{1}{4} \ln (x) x^{4} - \frac{1}{16} x^{4} + C$

Langkah 8

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Gabungkan $x^{4}$ dan $\frac{1}{16}$ .

$x^{5} y = \frac{1}{4} \cdot (\ln (x) x^{4}) - \frac{x^{4}}{16} + C$

Langkah 8.1.2

Hilangkan tanda kurung.

$x^{5} y = \frac{1}{4} \cdot \ln (x) x^{4} - \frac{x^{4}}{16} + C$

Langkah 8.2

Bagi setiap suku pada $x^{5} y = \frac{1}{4} \cdot (\ln (x) x^{4}) - \frac{x^{4}}{16} + C$ dengan $x^{5}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Bagilah setiap suku di $x^{5} y = \frac{1}{4} \cdot (\ln (x) x^{4}) - \frac{x^{4}}{16} + C$ dengan $x^{5}$ .

$\frac{x^{5} y}{x^{5}} = \frac{\frac{1}{4} \cdot (\ln (x) x^{4})}{x^{5}} + \frac{- \frac{x^{4}}{16}}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Langkah 8.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{5} y}{x^{5}} = \frac{\frac{1}{4} \cdot (\ln (x) x^{4})}{x^{5}} + \frac{- \frac{x^{4}}{16}}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Langkah 8.2.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{4} \cdot (\ln (x) x^{4})}{x^{5}} + \frac{- \frac{x^{4}}{16}}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Langkah 8.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $x^{4}$ dan $x^{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.1.1.1

Faktorkan $x^{4}$ dari $\frac{1}{4} \cdot (\ln (x) x^{4})$ .

$y = \frac{x^{4} (\frac{1}{4} \cdot (\ln (x)))}{x^{5}} + \frac{- \frac{x^{4}}{16}}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Langkah 8.2.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.1.1.2.1

Faktorkan $x^{4}$ dari $x^{5}$ .

$y = \frac{x^{4} (\frac{1}{4} \cdot (\ln (x)))}{x^{4} x} + \frac{- \frac{x^{4}}{16}}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Langkah 8.2.3.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{x^{4} (\frac{1}{4} \cdot (\ln (x)))}{x^{4} x} + \frac{- \frac{x^{4}}{16}}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Langkah 8.2.3.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{\frac{1}{4} \cdot (\ln (x))}{x} + \frac{- \frac{x^{4}}{16}}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Langkah 8.2.3.1.2

Sederhanakan $\frac{1}{4} \ln (x)$ dengan memindahkan $\frac{1}{4}$ ke dalam logaritma.

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{4}})}{x} + \frac{- \frac{x^{4}}{16}}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Langkah 8.2.3.1.3

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{4}})}{x} - \frac{x^{4}}{16} \cdot \frac{1}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Langkah 8.2.3.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.1.4.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{x^{4}}{16}$ ke dalam pembilangnya.

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{4}})}{x} + \frac{- x^{4}}{16} \cdot \frac{1}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Langkah 8.2.3.1.4.2

Faktorkan $x^{4}$ dari $- x^{4}$ .

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{4}})}{x} + \frac{x^{4} \cdot - 1}{16} \cdot \frac{1}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Langkah 8.2.3.1.4.3

Faktorkan $x^{4}$ dari $x^{5}$ .

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{4}})}{x} + \frac{x^{4} \cdot - 1}{16} \cdot \frac{1}{x^{4} x} + \frac{C}{x^{5}}$

Langkah 8.2.3.1.4.4

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{4}})}{x} + \frac{x^{4} \cdot - 1}{16} \cdot \frac{1}{x^{4} x} + \frac{C}{x^{5}}$

Langkah 8.2.3.1.4.5

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{4}})}{x} + \frac{- 1}{16} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x^{5}}$

Langkah 8.2.3.1.5

Kalikan $\frac{- 1}{16}$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{4}})}{x} + \frac{- 1}{16 x} + \frac{C}{x^{5}}$

Langkah 8.2.3.1.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{4}})}{x} - \frac{1}{16 x} + \frac{C}{x^{5}}$