Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{15}{{(3 x + 1)}^{2} e^{2 y + 6}}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kelompokkan kembali faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{15}{{(3 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{e^{2 y + 6}}$

Langkah 1.2

Kalikan kedua ruas dengan $e^{2 y + 6}$ .

$e^{2 y + 6} \frac{d y}{d x} = e^{2 y + 6} (\frac{15}{{(3 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{e^{2 y + 6}})$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Gabungkan.

$e^{2 y + 6} \frac{d y}{d x} = e^{2 y + 6} \frac{15 \cdot 1}{{(3 x + 1)}^{2} e^{2 y + 6}}$

Langkah 1.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{2 y + 6}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Faktorkan $e^{2 y + 6}$ dari ${(3 x + 1)}^{2} e^{2 y + 6}$ .

$e^{2 y + 6} \frac{d y}{d x} = e^{2 y + 6} \frac{15 \cdot 1}{e^{2 y + 6} {(3 x + 1)}^{2}}$

Langkah 1.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{2 y + 6} \frac{d y}{d x} = e^{2 y + 6} \frac{15 \cdot 1}{e^{2 y + 6} {(3 x + 1)}^{2}}$

Langkah 1.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{2 y + 6} \frac{d y}{d x} = \frac{15 \cdot 1}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Langkah 1.3.3

Kalikan $15$ dengan $1$ .

$e^{2 y + 6} \frac{d y}{d x} = \frac{15}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Langkah 1.4

Tulis kembali persamaan tersebut.

$e^{2 y + 6} d y = \frac{15}{{(3 x + 1)}^{2}} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int e^{2 y + 6} d y = \int \frac{15}{{(3 x + 1)}^{2}} d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Biarkan $u_{1} = 2 y + 6$ . Kemudian $d u_{1} = 2 d y$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Biarkan $u_{1} = 2 y + 6$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1

Diferensialkan $2 y + 6$ .

$\frac{d}{d y} [2 y + 6]$

Langkah 2.2.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 y + 6$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [6]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [6]$

Langkah 2.2.1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 y$ terhadap $y$ adalah $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [6]$

Langkah 2.2.1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [6]$

Langkah 2.2.1.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [6]$

Langkah 2.2.1.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.4.1

Karena $6$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $6$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$2 + 0$

Langkah 2.2.1.1.4.2

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$2$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{15}{{(3 x + 1)}^{2}} d x$

Langkah 2.2.2

Gabungkan $e^{u_{1}}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} = \int \frac{15}{{(3 x + 1)}^{2}} d x$

Langkah 2.2.3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{15}{{(3 x + 1)}^{2}} d x$

Langkah 2.2.4

Integral dari $e^{u_{1}}$ terhadap $u_{1}$ adalah $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{1}) = \int \frac{15}{{(3 x + 1)}^{2}} d x$

Langkah 2.2.5

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} e^{u_{1}} + C_{1} = \int \frac{15}{{(3 x + 1)}^{2}} d x$

Langkah 2.2.6

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $2 y + 6$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = \int \frac{15}{{(3 x + 1)}^{2}} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $15$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $15$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = 15 \int \frac{1}{{(3 x + 1)}^{2}} d x$

Langkah 2.3.2

Biarkan $u_{2} = 3 x + 1$ . Kemudian $d u_{2} = 3 d x$ sehingga $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Biarkan $u_{2} = 3 x + 1$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Diferensialkan $3 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 1]$

Langkah 2.3.2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.3.2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.3.2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.3.2.1.3.3

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.3.2.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.4.1

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$3 + 0$

Langkah 2.3.2.1.4.2

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$3$

Langkah 2.3.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = 15 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} \cdot \frac{1}{3} d u_{2}$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Kalikan $\frac{1}{{u_{2}}^{2}}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = 15 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2} \cdot 3} d u_{2}$

Langkah 2.3.3.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = 15 \int \frac{1}{3 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Langkah 2.3.4

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = 15 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $15$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = \frac{15}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Langkah 2.3.5.1.2

Hapus faktor persekutuan dari $15$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1.2.1

Faktorkan $3$ dari $15$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = \frac{3 \cdot 5}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Langkah 2.3.5.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1.2.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = \frac{3 \cdot 5}{3 (1)} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Langkah 2.3.5.1.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 1} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Langkah 2.3.5.1.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = \frac{5}{1} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Langkah 2.3.5.1.2.2.4

Bagilah $5$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = 5 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Langkah 2.3.5.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.2.1

Pindahkan ${u_{2}}^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = 5 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Langkah 2.3.5.2.2

Kalikan eksponen dalam ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = 5 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Langkah 2.3.5.2.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = 5 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Langkah 2.3.6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari ${u_{2}}^{- 2}$ terhadap $u_{2}$ adalah $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = 5 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$

Langkah 2.3.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.1

Tulis kembali $5 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$ sebagai $5 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = 5 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$

Langkah 2.3.7.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $5$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = - 5 \frac{1}{u_{2}} + C_{2}$

Langkah 2.3.7.2.2

Gabungkan $- 5$ dan $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = \frac{- 5}{u_{2}} + C_{2}$

Langkah 2.3.7.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = - \frac{5}{u_{2}} + C_{2}$

Langkah 2.3.8

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $3 x + 1$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = - \frac{5}{3 x + 1} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} = - \frac{5}{3 x + 1} + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 (\frac{1}{2} e^{2 y + 6}) = 2 (- \frac{5}{3 x + 1} + K)$

Langkah 3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{2} e^{2 y + 6})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $e^{2 y + 6}$ .

$2 \frac{e^{2 y + 6}}{2} = 2 (- \frac{5}{3 x + 1} + K)$

Langkah 3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{e^{2 y + 6}}{2} = 2 (- \frac{5}{3 x + 1} + K)$

Langkah 3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{2 y + 6} = 2 (- \frac{5}{3 x + 1} + K)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Sederhanakan $2 (- \frac{5}{3 x + 1} + K)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Untuk menuliskan $K$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3 x + 1}{3 x + 1}$ .

$e^{2 y + 6} = 2 (- \frac{5}{3 x + 1} + \frac{K (3 x + 1)}{3 x + 1})$

Langkah 3.2.2.1.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$e^{2 y + 6} = 2 \frac{- 5 + K (3 x + 1)}{3 x + 1}$

Langkah 3.2.2.1.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$e^{2 y + 6} = 2 \frac{- 5 + K (3 x) + K \cdot 1}{3 x + 1}$

Langkah 3.2.2.1.3.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{2 y + 6} = 2 \frac{- 5 + 3 K x + K \cdot 1}{3 x + 1}$

Langkah 3.2.2.1.3.3

Kalikan $K$ dengan $1$ .

$e^{2 y + 6} = 2 \frac{- 5 + 3 K x + K}{3 x + 1}$

Langkah 3.2.2.1.4

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.4.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{- 5 + 3 K x + K}{3 x + 1}$ .

$e^{2 y + 6} = \frac{2 (- 5 + 3 K x + K)}{3 x + 1}$

Langkah 3.2.2.1.4.2

Tulis kembali $- 5$ sebagai $- 1 (5)$ .

$e^{2 y + 6} = \frac{2 (- 1 (5) + 3 K x + K)}{3 x + 1}$

Langkah 3.2.2.1.4.3

Faktorkan $- 1$ dari $3 K x$ .

$e^{2 y + 6} = \frac{2 (- 1 (5) - (- 3 K x) + K)}{3 x + 1}$

Langkah 3.2.2.1.4.4

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (5) - (- 3 K x)$ .

$e^{2 y + 6} = \frac{2 (- 1 (5 - 3 K x) + K)}{3 x + 1}$

Langkah 3.2.2.1.4.5

Faktorkan $- 1$ dari $K$ .

$e^{2 y + 6} = \frac{2 (- 1 (5 - 3 K x) - 1 (- K))}{3 x + 1}$

Langkah 3.2.2.1.4.6

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (5 - 3 K x) - 1 (- K)$ .

$e^{2 y + 6} = \frac{2 (- 1 (5 - 3 K x - K))}{3 x + 1}$

Langkah 3.2.2.1.4.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$e^{2 y + 6} = - \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1}$

Langkah 3.3

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{2 y + 6}) = \ln (- \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1})$

Langkah 3.4

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Perluas $\ln (e^{2 y + 6})$ dengan memindahkan $2 y + 6$ ke luar logaritma.

$(2 y + 6) \ln (e) = \ln (- \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1})$

Langkah 3.4.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$(2 y + 6) \cdot 1 = \ln (- \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1})$

Langkah 3.4.3

Kalikan $2 y + 6$ dengan $1$ .

$2 y + 6 = \ln (- \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1})$

Langkah 3.5

Kurangkan $6$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 y = \ln (- \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1}) - 6$

Langkah 3.6

Bagi setiap suku pada $2 y = \ln (- \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1}) - 6$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Bagilah setiap suku di $2 y = \ln (- \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1}) - 6$ dengan $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (- \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1})}{2} + \frac{- 6}{2}$

Langkah 3.6.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (- \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1})}{2} + \frac{- 6}{2}$

Langkah 3.6.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\ln (- \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1})}{2} + \frac{- 6}{2}$

Langkah 3.6.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.3.1

Bagilah $- 6$ dengan $2$ .

$y = \frac{\ln (- \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1})}{2} - 3$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \frac{\ln (- \frac{2 (5 + K x + K)}{3 x + 1})}{2} - 3$