Kalkulus Contoh

$x (2 y + 1) d y + 2 (y^{2} + y + 2 x^{2}) d x = 0$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial agar sesuai dengan teknik persamaan diferensial Eksak.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali.

$2 (y^{2} + y + 2 x^{2}) d x + x (2 y + 1) d y = 0$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = 2 (y^{2} + y + 2 x^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 (y^{2} + y + 2 x^{2})]$

Langkah 2.2

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 (y^{2} + y + 2 x^{2})$ terhadap $y$ adalah $2 \frac{d}{d y} [y^{2} + y + 2 x^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \frac{d}{d y} [y^{2} + y + 2 x^{2}]$

Langkah 2.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y^{2} + y + 2 x^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 x^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 x^{2}])$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 y + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 x^{2}])$

Langkah 2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 y + 1 + \frac{d}{d y} [2 x^{2}])$

Langkah 2.6

Karena $2 x^{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 x^{2}$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 y + 1 + 0)$

Langkah 2.7

Tambahkan $2 y + 1$ dan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 y + 1)$

Langkah 2.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 y) + 2 \cdot 1$

Langkah 2.8.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.2.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + 2 \cdot 1$

Langkah 2.8.2.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + 2$

Langkah 3

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = x (2 y + 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (2 y + 1)]$

Langkah 3.2

Karena $2 y + 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $x (2 y + 1)$ terhadap $x$ adalah $(2 y + 1) \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = (2 y + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = (2 y + 1) \cdot 1$

Langkah 3.4

Kalikan $2 y + 1$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + 1$

Langkah 4

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $4 y + 2$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $2 y + 1$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$4 y + 2 = 2 y + 1$

Langkah 4.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$4 y + 2 = 2 y + 1$ bukan identitas.

Langkah 5

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $4 y + 2$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{4 y + 2 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Langkah 5.2

Substitusikan $2 y + 1$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{4 y + 2 - (2 y + 1)}{N}$

Langkah 5.3

Substitusikan $x (2 y + 1)$ untuk $N$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Substitusikan $x (2 y + 1)$ untuk $N$ .

$\frac{4 y + 2 - (2 y + 1)}{x (2 y + 1)}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{4 y + 2 - (2 y) - 1 \cdot 1}{x (2 y + 1)}$

Langkah 5.3.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{4 y + 2 - 2 y - 1 \cdot 1}{x (2 y + 1)}$

Langkah 5.3.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{4 y + 2 - 2 y - 1}{x (2 y + 1)}$

Langkah 5.3.2.4

Kurangi $2 y$ dengan $4 y$ .

$\frac{2 y + 2 - 1}{x (2 y + 1)}$

Langkah 5.3.2.5

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$\frac{2 y + 1}{x (2 y + 1)}$

Langkah 5.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2 y + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y + 1}{x (2 y + 1)}$

Langkah 5.3.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{x}$

Langkah 5.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 6

Evaluasi integral $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

Langkah 6.2

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

Langkah 6.2.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$μ (x, y) = | x | + C$

Langkah 7

Kalikan kedua sisi $2 (y^{2} + y + 2 x^{2}) d x + x (2 y + 1) d y = 0$ dengan faktor integral $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $2 (y^{2} + y + 2 x^{2})$ dengan $x$ .

$2 (y^{2} + y + 2 x^{2}) x d x + x (2 y + 1) d y = 0$

Langkah 7.2

Terapkan sifat distributif.

$(2 y^{2} + 2 y + 2 (2 x^{2})) x d x + x (2 y + 1) d y = 0$

Langkah 7.3

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$(2 y^{2} + 2 y + 4 x^{2}) x d x + x (2 y + 1) d y = 0$

Langkah 7.4

Terapkan sifat distributif.

$(2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{2} x) d x + x (2 y + 1) d y = 0$

Langkah 7.5

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Pindahkan $x$ .

$(2 y^{2} x + 2 y x + 4 (x \cdot x^{2})) d x + x (2 y + 1) d y = 0$

Langkah 7.5.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$(2 y^{2} x + 2 y x + 4 (x^{1} x^{2})) d x + x (2 y + 1) d y = 0$

Langkah 7.5.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$(2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{1 + 2}) d x + x (2 y + 1) d y = 0$

Langkah 7.5.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$(2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}) d x + x (2 y + 1) d y = 0$

Langkah 7.6

Kalikan $x (2 y + 1)$ dengan $x$ .

$(2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}) d x + x (2 y + 1) x d y = 0$

Langkah 7.7

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.7.1

Pindahkan $x$ .

$(2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}) d x + x \cdot x (2 y + 1) d y = 0$

Langkah 7.7.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$(2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}) d x + x^{2} (2 y + 1) d y = 0$

Langkah 7.8

Terapkan sifat distributif.

$(2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}) d x + (x^{2} (2 y) + x^{2} \cdot 1) d y = 0$

Langkah 7.9

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$(2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}) d x + (2 x^{2} y + x^{2} \cdot 1) d y = 0$

Langkah 7.10

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$(2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}) d x + (2 x^{2} y + x^{2}) d y = 0$

Langkah 8

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x^{2} y + x^{2} d y$

Langkah 9

Integralkan $N (x, y) = 2 x^{2} y + x^{2}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = \int 2 x^{2} y d y + \int x^{2} d y$

Langkah 9.2

Karena $2 x^{2}$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $2 x^{2}$ keluar dari integral.

$f (x, y) = 2 x^{2} \int y d y + \int x^{2} d y$

Langkah 9.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int x^{2} d y$

Langkah 9.4

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = 2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + x^{2} y + C$

Langkah 9.5

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$f (x, y) = 2 x^{2} (\frac{y^{2}}{2} + C) + x^{2} y + C$

Langkah 9.6

Sederhanakan.

$f (x, y) = x^{2} y^{2} + x^{2} y + C$

Langkah 10

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y^{2} + x^{2} y + g (x)$

Langkah 11

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}$

Langkah 12

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2} + x^{2} y + g (x)] = 2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}$

Langkah 12.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} y^{2} + x^{2} y + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}$

Langkah 12.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1

Karena $y^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $x^{2} y^{2}$ terhadap $x$ adalah $y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}$

Langkah 12.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}$

Langkah 12.3.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y^{2}$ .

$2 y^{2} x + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}$

Langkah 12.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.4.1

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $x^{2} y$ terhadap $x$ adalah $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 y^{2} x + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}$

Langkah 12.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 y^{2} x + y (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}$

Langkah 12.4.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y$ .

$2 y^{2} x + 2 y x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}$

Langkah 12.5

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y^{2} x + 2 y x + \frac{d g}{d x} = 2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}$

Langkah 12.6

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} + 2 y^{2} x + 2 x y = 2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}$

Langkah 13

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Kurangkan $2 y^{2} x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} + 2 x y = 2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3} - 2 y^{2} x$

Langkah 13.1.2

Kurangkan $2 x y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} = 2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3} - 2 y^{2} x - 2 x y$

Langkah 13.1.3

Gabungkan suku balikan dalam $2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3} - 2 y^{2} x - 2 x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.3.1

Kurangi $2 y^{2} x$ dengan $2 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 y x + 4 x^{3} + 0 - 2 x y$

Langkah 13.1.3.2

Tambahkan $2 y x + 4 x^{3}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 y x + 4 x^{3} - 2 x y$

Langkah 13.1.3.3

Susun kembali faktor-faktor dalam suku-suku $2 y x$ dan $- 2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x y + 4 x^{3} - 2 x y$

Langkah 13.1.3.4

Kurangi $2 x y$ dengan $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = 4 x^{3} + 0$

Langkah 13.1.3.5

Tambahkan $4 x^{3}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 4 x^{3}$

Langkah 14

Temukan $4 x^{3}$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = 4 x^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 4 x^{3} d x$

Langkah 14.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 4 x^{3} d x$

Langkah 14.3

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$g (x) = 4 \int x^{3} d x$

Langkah 14.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$g (x) = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Langkah 14.5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.5.1

Tulis kembali $4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ sebagai $4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$ .

$g (x) = 4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

Langkah 14.5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.5.2.1

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{4}$ .

$g (x) = \frac{4}{4} x^{4} + C$

Langkah 14.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$g (x) = \frac{4}{4} x^{4} + C$

Langkah 14.5.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$g (x) = 1 x^{4} + C$

Langkah 14.5.2.3

Kalikan $x^{4}$ dengan $1$ .

$g (x) = x^{4} + C$

Langkah 15

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = x^{2} y^{2} + x^{2} y + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y^{2} + x^{2} y + x^{4} + C$