Kalkulus Contoh

$(x \sin (x) + 1) d y + (y \sin (x) + x y \cos (x)) d x = 0$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial agar sesuai dengan teknik persamaan diferensial Eksak.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali.

$(y \sin (x) + x y \cos (x)) d x + (x \sin (x) + 1) d y = 0$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = y \sin (x) + x y \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \sin (x) + x y \cos (x)]$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y \sin (x) + x y \cos (x)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y \sin (x)] + \frac{d}{d y} [x y \cos (x)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \sin (x)] + \frac{d}{d y} [x y \cos (x)]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [y \sin (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $\sin (x)$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $y \sin (x)$ terhadap $y$ adalah $\sin (x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \sin (x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x y \cos (x)]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \sin (x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x y \cos (x)]$

Langkah 2.3.3

Kalikan $\sin (x)$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \sin (x) + \frac{d}{d y} [x y \cos (x)]$

Langkah 2.4

Evaluasi $\frac{d}{d y} [x y \cos (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $x \cos (x)$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x y \cos (x)$ terhadap $y$ adalah $x \cos (x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \sin (x) + x \cos (x) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 2.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \sin (x) + x \cos (x) \cdot 1$

Langkah 2.4.3

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \sin (x) + x \cos (x)$

Langkah 2.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cos (x) + \sin (x)$

Langkah 3

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = x \sin (x) + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \sin (x) + 1]$

Langkah 3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x \sin (x) + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = \sin (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 3.3.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 3.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 3.3.4

Kalikan $\sin (x)$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cos (x) + \sin (x) + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 3.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cos (x) + \sin (x) + 0$

Langkah 3.4.2

Tambahkan $x \cos (x) + \sin (x)$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cos (x) + \sin (x)$

Langkah 4

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $x \cos (x) + \sin (x)$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $x \cos (x) + \sin (x)$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x \cos (x) + \sin (x) = x \cos (x) + \sin (x)$

Langkah 4.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$x \cos (x) + \sin (x) = x \cos (x) + \sin (x)$ adalah identitas.

Langkah 5

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x \sin (x) + 1 d y$

Langkah 6

Integralkan $N (x, y) = x \sin (x) + 1$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = (x \sin (x) + 1) y + C$

Langkah 7

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = (x \sin (x) + 1) y + g (x)$

Langkah 8

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Langkah 9

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x \sin (x) + 1) y + g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Langkah 9.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $(x \sin (x) + 1) y + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [(x \sin (x) + 1) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(x \sin (x) + 1) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Langkah 9.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [(x \sin (x) + 1) y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $(x \sin (x) + 1) y$ terhadap $x$ adalah $y \frac{d}{d x} [x \sin (x) + 1]$ .

$y \frac{d}{d x} [x \sin (x) + 1] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Langkah 9.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x \sin (x) + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$y (\frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Langkah 9.3.3

$y (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Langkah 9.3.4

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Langkah 9.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Langkah 9.3.6

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Langkah 9.3.7

Kalikan $\sin (x)$ dengan $1$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x) + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Langkah 9.3.8

Tambahkan $x \cos (x) + \sin (x)$ dan $0$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Langkah 9.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d g}{d x} = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Langkah 9.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.5.1

Terapkan sifat distributif.

$y (x \cos (x)) + y \sin (x) + \frac{d g}{d x} = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Langkah 9.5.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} + x y \cos (x) + y \sin (x) = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Langkah 10

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Kurangkan $x y \cos (x)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} + y \sin (x) = y \sin (x) + x y \cos (x) - x y \cos (x)$

Langkah 10.1.2

Kurangkan $y \sin (x)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} = y \sin (x) + x y \cos (x) - x y \cos (x) - y \sin (x)$

Langkah 10.1.3

Gabungkan suku balikan dalam $y \sin (x) + x y \cos (x) - x y \cos (x) - y \sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.3.1

Kurangi $x y \cos (x)$ dengan $x y \cos (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = y \sin (x) + 0 - y \sin (x)$

Langkah 10.1.3.2

Tambahkan $y \sin (x)$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y \sin (x) - y \sin (x)$

Langkah 10.1.3.3

Kurangi $y \sin (x)$ dengan $y \sin (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Langkah 11

Temukan $0$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Langkah 11.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Langkah 11.3

Integral dari $0$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Langkah 11.4

Tambahkan $0$ dan $C$ .

$g (x) = C$

Langkah 12

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = (x \sin (x) + 1) y + g (x)$ .

$f (x, y) = (x \sin (x) + 1) y + C$

Langkah 13

Sederhanakan $f (x, y) = (x \sin (x) + 1) y + C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Terapkan sifat distributif.

$f (x, y) = x \sin (x) y + 1 y + C$

Langkah 13.1.2

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$f (x, y) = x \sin (x) y + y + C$

Langkah 13.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $f (x, y) = x \sin (x) y + y + C$ .

$f (x, y) = x y \sin (x) + y + C$