Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} + 7 y + \ln (x) = 0$

Langkah 1

Kurangkan $\ln (x)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d y}{d x} + 7 y = - \ln (x)$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = 7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int 7 d x}$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$e^{7 x + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{7 x}$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $e^{7 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $e^{7 x}$ .

$e^{7 x} \frac{d y}{d x} + e^{7 x} (7 y) = e^{7 x} (- \ln (x))$

Langkah 3.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{7 x} \frac{d y}{d x} + 7 e^{7 x} y = e^{7 x} (- \ln (x))$

Langkah 3.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{7 x} \frac{d y}{d x} + 7 e^{7 x} y = - e^{7 x} \ln (x)$

Langkah 3.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{7 x} \frac{d y}{d x} + 7 e^{7 x} y = - e^{7 x} \ln (x)$ .

$e^{7 x} \frac{d y}{d x} + 7 y e^{7 x} = - e^{7 x} \ln (x)$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [e^{7 x} y] = - e^{7 x} \ln (x)$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [e^{7 x} y] d x = \int - e^{7 x} \ln (x) d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$e^{7 x} y = \int - e^{7 x} \ln (x) d x$

Langkah 7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{7 x} y = - \int e^{7 x} \ln (x) d x$

Langkah 7.2

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \ln (x)$ dan $d v = e^{7 x}$ .

$e^{7 x} y = - (\ln (x) (\frac{1}{7} e^{7 x}) - \int \frac{1}{7} e^{7 x} \frac{1}{x} d x)$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Gabungkan $\frac{1}{7}$ dan $e^{7 x}$ .

$e^{7 x} y = - (\ln (x) \frac{e^{7 x}}{7} - \int \frac{1}{7} e^{7 x} \frac{1}{x} d x)$

Langkah 7.3.2

Gabungkan $\ln (x)$ dan $\frac{e^{7 x}}{7}$ .

$e^{7 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{7 x}}{7} - \int \frac{1}{7} e^{7 x} \frac{1}{x} d x)$

Langkah 7.3.3

Gabungkan $\frac{1}{7}$ dan $e^{7 x}$ .

$e^{7 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{7 x}}{7} - \int \frac{e^{7 x}}{7} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Langkah 7.3.4

Kalikan $\frac{e^{7 x}}{7}$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$e^{7 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{7 x}}{7} - \int \frac{e^{7 x}}{7 x} d x)$

Langkah 7.4

Karena $\frac{1}{7}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{7}$ keluar dari integral.

$e^{7 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{7 x}}{7} - (\frac{1}{7} \int \frac{e^{7 x}}{x} d x))$

Langkah 7.5

Biarkan $u = 7 x$ . Kemudian $d u = 7 d x$ sehingga $\frac{1}{7} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Biarkan $u = 7 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1.1

Diferensialkan $7 x$ .

$\frac{d}{d x} [7 x]$

Langkah 7.5.1.2

Karena $7$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $7 x$ terhadap $x$ adalah $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 7.5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$7 \cdot 1$

Langkah 7.5.1.4

Kalikan $7$ dengan $1$ .

$7$

Langkah 7.5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$e^{7 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{7 x}}{7} - \frac{1}{7} \int \frac{e^{u}}{\frac{u}{7}} \cdot \frac{1}{7} d u)$

Langkah 7.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.1

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{u}{7}$ .

$e^{7 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{7 x}}{7} - \frac{1}{7} \int e^{u} \frac{7}{u} \frac{1}{7} d u)$

Langkah 7.6.2

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{7}{u}$ .

$e^{7 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{7 x}}{7} - \frac{1}{7} \int \frac{e^{u} \cdot 7}{u} \cdot \frac{1}{7} d u)$

Langkah 7.6.3

Pindahkan $7$ ke sebelah kiri $e^{u}$ .

$e^{7 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{7 x}}{7} - \frac{1}{7} \int \frac{7 \cdot e^{u}}{u} \cdot \frac{1}{7} d u)$

Langkah 7.6.4

Kalikan $\frac{7 e^{u}}{u}$ dengan $\frac{1}{7}$ .

$e^{7 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{7 x}}{7} - \frac{1}{7} \int \frac{7 e^{u}}{u \cdot 7} d u)$

Langkah 7.6.5

Pindahkan $7$ ke sebelah kiri $u$ .

$e^{7 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{7 x}}{7} - \frac{1}{7} \int \frac{7 e^{u}}{7 \cdot u} d u)$

Langkah 7.6.6

Batalkan faktor persekutuan dari $7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{7 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{7 x}}{7} - \frac{1}{7} \int \frac{7 e^{u}}{7 u} d u)$

Langkah 7.6.6.2

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{7 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{7 x}}{7} - \frac{1}{7} \int \frac{e^{u}}{u} d u)$

Langkah 7.7

$\int \frac{e^{u}}{u} d u$ adalah integral khusus. Integralnya adalah fungsi integral eksponensial.

$e^{7 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{7 x}}{7} - \frac{1}{7} (E i (u) + C))$

Langkah 7.8

Tulis kembali $- (\frac{\ln (x) e^{7 x}}{7} - \frac{1}{7} (E i (u) + C))$ sebagai $- (\frac{\ln (x) e^{7 x}}{7} - \frac{E i (u)}{7}) + C$ .

$e^{7 x} y = - (\frac{1}{7} \ln (x) e^{7 x} - \frac{E i (u)}{7}) + C$

Langkah 8

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Kalikan $\frac{1}{7} (\ln (x) e^{7 x})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1.1

Gabungkan $\ln (x)$ dan $\frac{1}{7}$ .

$e^{7 x} y = - (\frac{\ln (x)}{7} e^{7 x} - \frac{E i (u)}{7}) + C$

Langkah 8.1.1.2

Gabungkan $\frac{\ln (x)}{7}$ dan $e^{7 x}$ .

$e^{7 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{7 x}}{7} - \frac{E i (u)}{7}) + C$

$e^{7 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{7 x}}{7} - \frac{E i u}{7}) + C$

Langkah 8.1.2

Terapkan sifat distributif.

$e^{7 x} y = - \frac{\ln (x) e^{7 x}}{7} - - \frac{E i u}{7} + C$

Langkah 8.1.3

Kalikan $- - \frac{E i u}{7}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$e^{7 x} y = - \frac{\ln (x) e^{7 x}}{7} + 1 \frac{E i u}{7} + C$

Langkah 8.1.3.2

Kalikan $\frac{E i u}{7}$ dengan $1$ .

$e^{7 x} y = - \frac{\ln (x) e^{7 x}}{7} + \frac{E i u}{7} + C$

Langkah 8.1.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $- \frac{\ln (x) e^{7 x}}{7} + \frac{E i u}{7}$ .

$e^{7 x} y = - \frac{e^{7 x} \ln (x)}{7} + \frac{E i u}{7} + C$

Langkah 8.2

Bagi setiap suku pada $e^{7 x} y = - \frac{e^{7 x} \ln (x)}{7} + \frac{E i u}{7} + C$ dengan $e^{7 x}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Bagilah setiap suku di $e^{7 x} y = - \frac{e^{7 x} \ln (x)}{7} + \frac{E i u}{7} + C$ dengan $e^{7 x}$ .

$\frac{e^{7 x} y}{e^{7 x}} = \frac{- \frac{e^{7 x} \ln (x)}{7}}{e^{7 x}} + \frac{\frac{E i u}{7}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Langkah 8.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{7 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{7 x} y}{e^{7 x}} = \frac{- \frac{e^{7 x} \ln (x)}{7}}{e^{7 x}} + \frac{\frac{E i u}{7}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Langkah 8.2.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{- \frac{e^{7 x} \ln (x)}{7}}{e^{7 x}} + \frac{\frac{E i u}{7}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Langkah 8.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.1.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$y = - \frac{e^{7 x} \ln (x)}{7} \cdot \frac{1}{e^{7 x}} + \frac{\frac{E i u}{7}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Langkah 8.2.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{7 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.1.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{e^{7 x} \ln (x)}{7}$ ke dalam pembilangnya.

$y = \frac{- e^{7 x} \ln (x)}{7} \cdot \frac{1}{e^{7 x}} + \frac{\frac{E i u}{7}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Langkah 8.2.3.1.2.2

Faktorkan $e^{7 x}$ dari $- e^{7 x} \ln (x)$ .

$y = \frac{e^{7 x} (- 1 \ln (x))}{7} \cdot \frac{1}{e^{7 x}} + \frac{\frac{E i u}{7}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Langkah 8.2.3.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{e^{7 x} (- 1 \ln (x))}{7} \cdot \frac{1}{e^{7 x}} + \frac{\frac{E i u}{7}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Langkah 8.2.3.1.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{- 1 \ln (x)}{7} + \frac{\frac{E i u}{7}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Langkah 8.2.3.1.3

Tulis kembali $\frac{- 1 \ln (x)}{7}$ sebagai $\frac{- 1}{7} \ln (x)$ .

$y = \frac{- 1}{7} \ln (x) + \frac{\frac{E i u}{7}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Langkah 8.2.3.1.4

Sederhanakan $\frac{- 1}{7} \ln (x)$ dengan memindahkan $- \frac{- 1}{7}$ ke dalam logaritma.

$y = - \ln (x^{- \frac{- 1}{7}}) + \frac{\frac{E i u}{7}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Langkah 8.2.3.1.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - \ln (x^{- - \frac{1}{7}}) + \frac{\frac{E i u}{7}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Langkah 8.2.3.1.6

Kalikan $- - \frac{1}{7}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.1.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y = - \ln (x^{1 (\frac{1}{7})}) + \frac{\frac{E i u}{7}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Langkah 8.2.3.1.6.2

Kalikan $\frac{1}{7}$ dengan $1$ .

$y = - \ln (x^{\frac{1}{7}}) + \frac{\frac{E i u}{7}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Langkah 8.2.3.1.7

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$y = - \ln (x^{\frac{1}{7}}) + \frac{E i u}{7} \cdot \frac{1}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Langkah 8.2.3.1.8

Gabungkan.

$y = - \ln (x^{\frac{1}{7}}) + \frac{E i u \cdot 1}{7 e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Langkah 8.2.3.1.9

Kalikan $E$ dengan $1$ .

$y = - \ln (x^{\frac{1}{7}}) + \frac{E i u}{7 e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$