Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \sin (x)$

Langkah 1

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Buat integralnya.

$e^{\int 2 d x}$

Langkah 1.2

Terapkan aturan konstanta.

$e^{2 x + C}$

Langkah 1.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{2 x}$

Langkah 2

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $e^{2 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan setiap suku dengan $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (2 y) = e^{2 x} \sin (x)$

Langkah 2.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} \sin (x)$

Langkah 2.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} \sin (x)$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = e^{2 x} \sin (x)$

Langkah 3

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = e^{2 x} \sin (x)$

Langkah 4

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int e^{2 x} \sin (x) d x$

Langkah 5

Integralkan sisi kiri.

$e^{2 x} y = \int e^{2 x} \sin (x) d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Susun kembali $e^{2 x}$ dan $\sin (x)$ .

$e^{2 x} y = \int \sin (x) e^{2 x} d x$

Langkah 6.2

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \sin (x)$ dan $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \sin (x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cos (x) d x$

Langkah 6.3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$e^{2 x} y = \sin (x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} \cos (x) d x)$

Langkah 6.4

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \sin (x) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} \cos (x) d x)$

Langkah 6.4.2

Gabungkan $\sin (x)$ dan $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} \cos (x) d x)$

Langkah 6.4.3

Susun kembali $e^{2 x}$ dan $\cos (x)$ .

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int \cos (x) e^{2 x} d x)$

Langkah 6.5

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \cos (x)$ dan $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} (\cos (x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (- \sin (x)) d x))$

Langkah 6.6

Karena $\frac{1}{2} \cdot - 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2} \cdot - 1$ keluar dari integral.

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} (\cos (x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - (\frac{1}{2} \cdot - 1 \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)))$

Langkah 6.7

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} (\cos (x) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 1 \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)))$

Langkah 6.7.2

Gabungkan $\cos (x)$ dan $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} (\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 1 \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)))$

Langkah 6.7.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} (\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)))$

Langkah 6.7.4

Terapkan sifat distributif.

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (- (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x))$

Langkah 6.7.5

Kalikan $\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} (- (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x))$

Langkah 6.7.6

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.6.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4} - \frac{1}{2} (- (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x))$

Langkah 6.7.6.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4} + 1 (\frac{1}{2}) (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)$

Langkah 6.7.6.3

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4} + \frac{1}{2} (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)$

Langkah 6.7.7

Kalikan $\frac{- 1}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4} + \frac{- 1}{2 \cdot 2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x$

Langkah 6.7.8

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4} + \frac{- 1}{4} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x$

Langkah 6.8

Ketika menyelesaikan $\int e^{2 x} \sin (x) d x$ , kami menemukan bahwa $\int e^{2 x} \sin (x) d x$ = $\frac{\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}}{\frac{5}{4}}$ .

$e^{2 x} y = \frac{\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}}{\frac{5}{4}} + C$

Langkah 6.9

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.9.1

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{5}{4}$ .

$e^{2 x} y = (\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) \frac{4}{5} + C$

Langkah 6.9.2

Tulis kembali $(\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) \frac{4}{5} + C$ sebagai $(\frac{1}{2} \sin (x) e^{2 x} - \frac{1}{4} \cos (x) e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$ .

$e^{2 x} y = (\frac{1}{2} \sin (x) e^{2 x} - \frac{1}{4} \cos (x) e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$

Langkah 6.9.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.9.3.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sin (x)$ .

$e^{2 x} y = (\frac{\sin (x)}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} \cos (x) e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$

Langkah 6.9.3.2

Gabungkan $\frac{\sin (x)}{2}$ dan $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = (\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \cos (x) e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$

Langkah 6.9.3.3

Gabungkan $\cos (x)$ dan $\frac{1}{4}$ .

$e^{2 x} y = (\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x)}{4} e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$

Langkah 6.9.3.4

Gabungkan $e^{2 x}$ dan $\frac{\cos (x)}{4}$ .

$e^{2 x} y = (\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x} \cos (x)}{4}) \frac{4}{5} + C$

Langkah 6.9.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} y = (\frac{1}{2} e^{2 x} \sin (x) - \frac{1}{4} e^{2 x} \cos (x)) \frac{4}{5} + C$

Langkah 7

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Gabungkan $e^{2 x}$ dan $\frac{1}{4}$ .

$e^{2 x} y = (\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} \sin (x)) - \frac{e^{2 x}}{4} \cdot \cos (x)) \frac{4}{5} + C$

Langkah 7.1.2

Gabungkan $\cos (x)$ dan $\frac{e^{2 x}}{4}$ .

$e^{2 x} y = (\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} \sin (x)) - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) \frac{4}{5} + C$

Langkah 7.1.3

Hilangkan tanda kurung.

$e^{2 x} y = (\frac{1}{2} \cdot e^{2 x} \sin (x) - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) \frac{4}{5} + C$

Langkah 7.2

Bagi setiap suku pada $e^{2 x} y = (\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} \sin (x)) - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) (\frac{4}{5}) + C$ dengan $e^{2 x}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Bagilah setiap suku di $e^{2 x} y = (\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} \sin (x)) - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) (\frac{4}{5}) + C$ dengan $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{(\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} \sin (x)) - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) (\frac{4}{5})}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Langkah 7.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{2 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{(\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} \sin (x)) - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) (\frac{4}{5})}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Langkah 7.2.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{(\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} \sin (x)) - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) (\frac{4}{5})}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Langkah 7.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1.1.1

Faktorkan $e^{2 x}$ dari $\frac{1}{2} \cdot e^{2 x} \sin (x) - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1.1.1.1

Faktorkan $e^{2 x}$ dari $\frac{1}{2} \cdot e^{2 x} \sin (x)$ .

$y = \frac{(e^{2 x} (\frac{1}{2} \sin (x)) - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) \frac{4}{5}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Langkah 7.2.3.1.1.1.2

Faktorkan $e^{2 x}$ dari $- \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}$ .

$y = \frac{(e^{2 x} (\frac{1}{2} \sin (x)) + e^{2 x} (- \frac{\cos (x)}{4})) \frac{4}{5}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Langkah 7.2.3.1.1.1.3

Faktorkan $e^{2 x}$ dari $e^{2 x} (\frac{1}{2} \sin (x)) + e^{2 x} (- \frac{\cos (x)}{4})$ .

$y = \frac{e^{2 x} (\frac{1}{2} \sin (x) - \frac{\cos (x)}{4}) \frac{4}{5}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Langkah 7.2.3.1.1.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sin (x)$ .

$y = \frac{e^{2 x} (\frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{4}) \frac{4}{5}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Langkah 7.2.3.1.1.3

Gabungkan $\frac{4}{5}$ dan $e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{4 e^{2 x}}{5} (\frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{4})}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Langkah 7.2.3.1.2

Faktorkan $\frac{4 e^{2 x}}{5}$ dari $\frac{\frac{4 e^{2 x}}{5} (\frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{4})}{e^{2 x}}$ .

$y = \frac{4 e^{2 x}}{5} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{4}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Langkah 7.2.3.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{2 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1.3.1

Faktorkan $e^{2 x}$ dari $4 e^{2 x}$ .

$y = \frac{e^{2 x} \cdot 4}{5} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{4}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Langkah 7.2.3.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{e^{2 x} \cdot 4}{5} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{4}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Langkah 7.2.3.1.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{4}{5} (\frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{4}) + \frac{C}{e^{2 x}}$

Langkah 7.2.3.1.4

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{4}{5} \cdot \frac{\sin (x)}{2} + \frac{4}{5} (- \frac{\cos (x)}{4}) + \frac{C}{e^{2 x}}$

Langkah 7.2.3.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1.5.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$y = \frac{2 (2)}{5} \cdot \frac{\sin (x)}{2} + \frac{4}{5} (- \frac{\cos (x)}{4}) + \frac{C}{e^{2 x}}$

Langkah 7.2.3.1.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{2 \cdot 2}{5} \cdot \frac{\sin (x)}{2} + \frac{4}{5} (- \frac{\cos (x)}{4}) + \frac{C}{e^{2 x}}$

Langkah 7.2.3.1.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{2}{5} \sin (x) + \frac{4}{5} (- \frac{\cos (x)}{4}) + \frac{C}{e^{2 x}}$

Langkah 7.2.3.1.6

Gabungkan $\frac{2}{5}$ dan $\sin (x)$ .

$y = \frac{2 \sin (x)}{5} + \frac{4}{5} (- \frac{\cos (x)}{4}) + \frac{C}{e^{2 x}}$

Langkah 7.2.3.1.7

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1.7.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{\cos (x)}{4}$ ke dalam pembilangnya.

$y = \frac{2 \sin (x)}{5} + \frac{4}{5} \cdot \frac{- \cos (x)}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Langkah 7.2.3.1.7.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{2 \sin (x)}{5} + \frac{4}{5} \cdot \frac{- \cos (x)}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Langkah 7.2.3.1.7.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{2 \sin (x)}{5} + \frac{1}{5} (- \cos (x)) + \frac{C}{e^{2 x}}$

Langkah 7.2.3.1.8

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan $\cos (x)$ .

$y = \frac{2 \sin (x)}{5} - \frac{\cos (x)}{5} + \frac{C}{e^{2 x}}$