Kalkulus Contoh

$x \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 2 \frac{d y}{d x} = 6 x$

Langkah 1

Biarkan $v = \frac{d y}{d x}$ . Kemudian $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . Substitusikan $v$ untuk $\frac{d y}{d x}$ dan $\frac{d v}{d x}$ untuk $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ untuk mendapatkan persamaan diferensial dengan variabel dependen $v$ dan variabel independen $x$ .

$x \frac{d v}{d x} + 2 v = 6 x$

Langkah 2

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Bagilah setiap suku di $x \frac{d v}{d x} + 2 v = 6 x$ dengan $x$ .

$\frac{x \frac{d v}{d x}}{x} + \frac{2 v}{x} = \frac{6 x}{x}$

Langkah 2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \frac{d v}{d x}}{x} + \frac{2 v}{x} = \frac{6 x}{x}$

Langkah 2.2.2

Bagilah $\frac{d v}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 v}{x} = \frac{6 x}{x}$

Langkah 2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 v}{x} = \frac{6 x}{x}$

Langkah 2.3.2

Bagilah $6$ dengan $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 v}{x} = 6$

Langkah 2.4

Faktorkan $v$ dari $\frac{2 v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v \frac{2}{x} = 6$

Langkah 2.5

Susun kembali $v$ dan $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{2}{x} v = 6$

Langkah 3

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = \frac{2}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Buat integralnya.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Langkah 3.2

Integralkan $\frac{2}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 3.2.2

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C_{1})}$

Langkah 3.2.3

Sederhanakan.

$e^{2 \ln (| x |) + C_{1}}$

Langkah 3.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{2 \ln (x)}$

Langkah 3.4

Gunakan kaidah pangkat logaritma.

$e^{\ln (x^{2})}$

Langkah 3.5

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$x^{2}$

Langkah 4

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Kalikan setiap suku dengan $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d v}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} v) = x^{2} \cdot 6$

Langkah 4.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Gabungkan $\frac{2}{x}$ dan $v$ .

$x^{2} \frac{d v}{d x} + x^{2} \frac{2 v}{x} = x^{2} \cdot 6$

Langkah 4.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d v}{d x} + x \cdot x \frac{2 v}{x} = x^{2} \cdot 6$

Langkah 4.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{2} \frac{d v}{d x} + x \cdot x \frac{2 v}{x} = x^{2} \cdot 6$

Langkah 4.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{2} \frac{d v}{d x} + x (2 v) = x^{2} \cdot 6$

Langkah 4.2.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$x^{2} \frac{d v}{d x} + 2 x v = x^{2} \cdot 6$

Langkah 4.3

Pindahkan $6$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d v}{d x} + 2 x v = 6 x^{2}$

Langkah 5

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [x^{2} v] = 6 x^{2}$

Langkah 6

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} v] d x = \int 6 x^{2} d x$

Langkah 7

Integralkan sisi kiri.

$x^{2} v = \int 6 x^{2} d x$

Langkah 8

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $6$ keluar dari integral.

$x^{2} v = 6 \int x^{2} d x$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$x^{2} v = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Langkah 8.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Tulis kembali $6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ sebagai $6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ .

$x^{2} v = 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

Langkah 8.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Gabungkan $6$ dan $\frac{1}{3}$ .

$x^{2} v = \frac{6}{3} x^{3} + C_{2}$

Langkah 8.3.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.2.1

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$x^{2} v = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + C_{2}$

Langkah 8.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.2.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$x^{2} v = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + C_{2}$

Langkah 8.3.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{2} v = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{2}$

Langkah 8.3.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{2} v = \frac{2}{1} x^{3} + C_{2}$

Langkah 8.3.2.2.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$x^{2} v = 2 x^{3} + C_{2}$

Langkah 9

Bagi setiap suku pada $x^{2} v = 2 x^{3} + C_{2}$ dengan $x^{2}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Bagilah setiap suku di $x^{2} v = 2 x^{3} + C_{2}$ dengan $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} v}{x^{2}} = \frac{2 x^{3}}{x^{2}} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Langkah 9.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{2} v}{x^{2}} = \frac{2 x^{3}}{x^{2}} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Langkah 9.2.1.2

Bagilah $v$ dengan $1$ .

$v = \frac{2 x^{3}}{x^{2}} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Langkah 9.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $x^{3}$ dan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $2 x^{3}$ .

$v = \frac{x^{2} (2 x)}{x^{2}} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Langkah 9.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$v = \frac{x^{2} (2 x)}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Langkah 9.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$v = \frac{x^{2} (2 x)}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Langkah 9.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$v = \frac{2 x}{1} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Langkah 9.3.1.2.4

Bagilah $2 x$ dengan $1$ .

$v = 2 x + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Langkah 10

Ganti semua kemunculan $v$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Langkah 11

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = (2 x + \frac{C_{2}}{x^{2}}) d x$

Langkah 12

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int 2 x + \frac{C_{2}}{x^{2}} d x$

Langkah 12.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{3} = \int 2 x + \frac{C_{2}}{x^{2}} d x$

Langkah 12.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$y + C_{3} = \int 2 x d x + \int \frac{C_{2}}{x^{2}} d x$

Langkah 12.3.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$y + C_{3} = 2 \int x d x + \int \frac{C_{2}}{x^{2}} d x$

Langkah 12.3.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int \frac{C_{2}}{x^{2}} d x$

Langkah 12.3.4

Karena $C_{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $C_{2}$ keluar dari integral.

$y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + C_{2} \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 12.3.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.5.1

Pindahkan $x^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + C_{2} \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Langkah 12.3.5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.5.2.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + C_{2} \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Langkah 12.3.5.2.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.5.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + C_{2} \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Langkah 12.3.5.2.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + C_{2} \int x^{- 2} d x$

Langkah 12.3.6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- 2}$ terhadap $x$ adalah $- x^{- 1}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + C_{2} (- x^{- 1} + C_{5})$

Langkah 12.3.7

Sederhanakan.

$y + C_{3} = x^{2} + C_{2} (- x^{- 1}) + C_{6}$

Langkah 12.3.8

Susun kembali suku-suku.

$y + C_{3} = x^{2} - C_{2} x^{- 1} + C_{6}$

Langkah 12.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $D$ .

$y = x^{2} - C x^{- 1} + D$