Kalkulus Contoh

$5 x^{2} (y d) x + (x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = 5 x^{2} y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [5 x^{2} y]$

Langkah 1.2

Karena $5 x^{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $5 x^{2} y$ terhadap $y$ adalah $5 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 5 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 5 x^{2} \cdot 1$

Langkah 1.4

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 5 x^{2}$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = x^{3} + y^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3} + y^{3}]$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{3} + y^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 2.4

Karena $y^{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $y^{3}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 0$

Langkah 2.5

Tambahkan $3 x^{2}$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2}$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $5 x^{2}$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $3 x^{2}$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$5 x^{2} = 3 x^{2}$

Langkah 3.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$5 x^{2} = 3 x^{2}$ bukan identitas.

Langkah 4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $3 x^{2}$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{3 x^{2} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Langkah 4.2

Substitusikan $5 x^{2}$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{3 x^{2} - (5 x^{2})}{M}$

Langkah 4.3

Substitusikan $5 x^{2} y$ untuk $M$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $5 x^{2} y$ untuk $M$ .

$\frac{3 x^{2} - (5 x^{2})}{5 x^{2} y}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $3 x^{2} - 1 \cdot 5 x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $3 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3 - 1 \cdot 5 x^{2}}{5 x^{2} y}$

Langkah 4.3.2.1.2

Faktorkan $x^{2}$ dari $- 1 \cdot 5 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3 + x^{2} (- 1 \cdot 5)}{5 x^{2} y}$

Langkah 4.3.2.1.3

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{2} \cdot 3 + x^{2} (- 1 \cdot 5)$ .

$\frac{x^{2} (3 - 1 \cdot 5)}{5 x^{2} y}$

Langkah 4.3.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $5$ .

$\frac{x^{2} (3 - 5)}{5 x^{2} y}$

Langkah 4.3.2.3

Kurangi $5$ dengan $3$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 2}{5 x^{2} y}$

Langkah 4.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{2} \cdot - 2}{5 x^{2} y}$

Langkah 4.3.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 2}{5 y}$

Langkah 4.3.4

Substitusikan $5 x^{2} y$ untuk $M$ .

$- \frac{2}{5 y}$

Langkah 4.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{5 y} d y}$

Langkah 5

Evaluasi integral $e^{\int - \frac{2}{5 y} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{5 y} d y}$

Langkah 5.2

Karena $\frac{2}{5}$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $\frac{2}{5}$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- (\frac{2}{5} \int \frac{1}{y} d y)}$

Langkah 5.3

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- \frac{2}{5} (\ln (| y |) + C)}$

Langkah 5.4

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{- \frac{2}{5} \ln (| y |)} + C$

Langkah 5.5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Kalikan $- \frac{2}{5} \ln (| y |)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1.1

Susun kembali $\ln (| y |)$ dan $\frac{2}{5}$ .

$μ (x, y) = e^{- (\frac{2}{5} \ln (| y |))} + C$

Langkah 5.5.1.2

Sederhanakan $\frac{2}{5} \ln (| y |)$ dengan memindahkan $\frac{2}{5}$ ke dalam logaritma.

$μ (x, y) = e^{- \ln ({| y |}^{\frac{2}{5}})} + C$

Langkah 5.5.2

Sederhanakan $- \ln ({| y |}^{\frac{2}{5}})$ dengan memindahkan $- 1$ ke dalam logaritma.

$μ (x, y) = e^{\ln ({({| y |}^{\frac{2}{5}})}^{- 1})} + C$

Langkah 5.5.3

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$μ (x, y) = {({| y |}^{\frac{2}{5}})}^{- 1} + C$

Langkah 5.5.4

Kalikan eksponen dalam ${({| y |}^{\frac{2}{5}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$μ (x, y) = {| y |}^{\frac{2}{5} \cdot - 1} + C$

Langkah 5.5.4.2

Kalikan $\frac{2}{5} \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.2.1

Gabungkan $\frac{2}{5}$ dan $- 1$ .

$μ (x, y) = {| y |}^{\frac{2 \cdot - 1}{5}} + C$

Langkah 5.5.4.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$μ (x, y) = {| y |}^{\frac{- 2}{5}} + C$

Langkah 5.5.4.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$μ (x, y) = {| y |}^{- \frac{2}{5}} + C$

Langkah 5.5.5

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{\frac{2}{5}}} + C$

Langkah 6

Kalikan kedua sisi $5 x^{2} y d x + (x^{3} + y^{3}) d y = 0$ dengan faktor integral $\frac{1}{y^{\frac{2}{5}}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $5 x^{2} y$ dengan $\frac{1}{y^{\frac{2}{5}}}$ .

$5 x^{2} y \frac{1}{y^{\frac{2}{5}}} d x + (x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Langkah 6.2

Kalikan $5 x^{2} y \frac{1}{y^{\frac{2}{5}}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Gabungkan $5$ dan $\frac{1}{y^{\frac{2}{5}}}$ .

$x^{2} y \frac{5}{y^{\frac{2}{5}}} d x + (x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Langkah 6.2.2

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{5}{y^{\frac{2}{5}}}$ .

$y \frac{x^{2} \cdot 5}{y^{\frac{2}{5}}} d x + (x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Langkah 6.2.3

Gabungkan $y$ dan $\frac{x^{2} \cdot 5}{y^{\frac{2}{5}}}$ .

$\frac{y (x^{2} \cdot 5)}{y^{\frac{2}{5}}} d x + (x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Langkah 6.3

Pindahkan $y^{\frac{2}{5}}$ ke pembilang menggunakan aturan eksponen negatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$y (x^{2} \cdot 5) y^{- \frac{2}{5}} d x + (x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Langkah 6.4

Kalikan $y$ dengan $y^{- \frac{2}{5}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Pindahkan $y^{- \frac{2}{5}}$ .

$y^{- \frac{2}{5}} y (x^{2} \cdot 5) d x + (x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Langkah 6.4.2

Kalikan $y^{- \frac{2}{5}}$ dengan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$y^{- \frac{2}{5}} y^{1} (x^{2} \cdot 5) d x + (x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Langkah 6.4.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y^{- \frac{2}{5} + 1} (x^{2} \cdot 5) d x + (x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Langkah 6.4.3

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$y^{- \frac{2}{5} + \frac{5}{5}} (x^{2} \cdot 5) d x + (x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Langkah 6.4.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y^{\frac{- 2 + 5}{5}} (x^{2} \cdot 5) d x + (x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Langkah 6.4.5

Tambahkan $- 2$ dan $5$ .

$y^{\frac{3}{5}} (x^{2} \cdot 5) d x + (x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Langkah 6.5

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$5 y^{\frac{3}{5}} x^{2} d x + (x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Langkah 6.6

Susun kembali faktor-faktor dalam $5 y^{\frac{3}{5}} x^{2}$ .

$5 x^{2} y^{\frac{3}{5}} d x + (x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Langkah 6.7

Kalikan $x^{3} + y^{3}$ dengan $\frac{1}{y^{\frac{2}{5}}}$ .

$5 x^{2} y^{\frac{3}{5}} d x + (x^{3} + y^{3}) \frac{1}{y^{\frac{2}{5}}} d y = 0$

Langkah 6.8

Kalikan $x^{3} + y^{3}$ dengan $\frac{1}{y^{\frac{2}{5}}}$ .

$5 x^{2} y^{\frac{3}{5}} d x + \frac{x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{2}{5}}} d y = 0$

Langkah 6.9

Karena kedua suku adalah pangkat tiga sempurna, faktorkan menggunakan rumus penjumlahan pangkat tiga. $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ di mana $a = x$ dan $b = y$ .

$5 x^{2} y^{\frac{3}{5}} d x + \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{\frac{2}{5}}} d y = 0$

Langkah 7

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 5 x^{2} y^{\frac{3}{5}} d x$

Langkah 8

Integralkan $M (x, y) = 5 x^{2} y^{\frac{3}{5}}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Karena $5 y^{\frac{3}{5}}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $5 y^{\frac{3}{5}}$ keluar dari integral.

$f (x, y) = 5 y^{\frac{3}{5}} \int x^{2} d x$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 5 y^{\frac{3}{5}} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Langkah 8.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Tulis kembali $5 y^{\frac{3}{5}} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ sebagai $5 y^{\frac{3}{5}} \frac{1}{3} x^{3} + C$ .

$f (x, y) = 5 y^{\frac{3}{5}} \frac{1}{3} x^{3} + C$

Langkah 8.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Gabungkan $5$ dan $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = y^{\frac{3}{5}} \frac{5}{3} x^{3} + C$

Langkah 8.3.2.2

Gabungkan $y^{\frac{3}{5}}$ dan $\frac{5}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{\frac{3}{5}} \cdot 5}{3} x^{3} + C$

Langkah 8.3.2.3

Pindahkan $5$ ke sebelah kiri $y^{\frac{3}{5}}$ .

$f (x, y) = \frac{5 \cdot y^{\frac{3}{5}}}{3} x^{3} + C$

Langkah 8.3.2.4

Kalikan $5$ dengan $y^{\frac{3}{5}}$ .

$f (x, y) = \frac{5 y^{\frac{3}{5}}}{3} x^{3} + C$

Langkah 8.3.2.5

Gabungkan $\frac{5 y^{\frac{3}{5}}}{3}$ dan $x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{5 y^{\frac{3}{5}} x^{3}}{3} + C$

Langkah 8.3.3

Susun kembali suku-suku.

$f (x, y) = \frac{5}{3} y^{\frac{3}{5}} x^{3} + C$

Langkah 9

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{5}{3} y^{\frac{3}{5}} x^{3} + g (y)$

Langkah 10

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{\frac{2}{5}}}$

Langkah 11

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{5}{3} y^{\frac{3}{5}} x^{3} + g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{\frac{2}{5}}}$

Langkah 11.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{5}{3} y^{\frac{3}{5}} x^{3} + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [\frac{5}{3} y^{\frac{3}{5}} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{5}{3} y^{\frac{3}{5}} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{\frac{2}{5}}}$

Langkah 11.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [\frac{5}{3} y^{\frac{3}{5}} x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Gabungkan $\frac{5}{3}$ dan $y^{\frac{3}{5}}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{5 y^{\frac{3}{5}}}{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{\frac{2}{5}}}$

Langkah 11.3.2

Gabungkan $\frac{5 y^{\frac{3}{5}}}{3}$ dan $x^{3}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{5 y^{\frac{3}{5}} x^{3}}{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{\frac{2}{5}}}$

Langkah 11.3.3

Karena $\frac{5 x^{3}}{3}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $\frac{5 y^{\frac{3}{5}} x^{3}}{3}$ terhadap $y$ adalah $\frac{5 x^{3}}{3} \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{5}}]$ .

$\frac{5 x^{3}}{3} \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{5}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{\frac{2}{5}}}$

Langkah 11.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = \frac{3}{5}$ .

$\frac{5 x^{3}}{3} (\frac{3}{5} y^{\frac{3}{5} - 1}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{\frac{2}{5}}}$

Langkah 11.3.5

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{5}{5}$ .

$\frac{5 x^{3}}{3} (\frac{3}{5} y^{\frac{3}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{\frac{2}{5}}}$

Langkah 11.3.6

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{5}{5}$ .

$\frac{5 x^{3}}{3} (\frac{3}{5} y^{\frac{3}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{\frac{2}{5}}}$

Langkah 11.3.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{5 x^{3}}{3} (\frac{3}{5} y^{\frac{3 - 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{\frac{2}{5}}}$

Langkah 11.3.8

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.8.1

Kalikan $- 1$ dengan $5$ .

$\frac{5 x^{3}}{3} (\frac{3}{5} y^{\frac{3 - 5}{5}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{\frac{2}{5}}}$

Langkah 11.3.8.2

Kurangi $5$ dengan $3$ .

$\frac{5 x^{3}}{3} (\frac{3}{5} y^{\frac{- 2}{5}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{\frac{2}{5}}}$

Langkah 11.3.9

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{5 x^{3}}{3} (\frac{3}{5} y^{- \frac{2}{5}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{\frac{2}{5}}}$

Langkah 11.3.10

Gabungkan $\frac{3}{5}$ dan $y^{- \frac{2}{5}}$ .

$\frac{5 x^{3}}{3} \cdot \frac{3 y^{- \frac{2}{5}}}{5} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{\frac{2}{5}}}$

Langkah 11.3.11

Kalikan $\frac{5 x^{3}}{3}$ dengan $\frac{3 y^{- \frac{2}{5}}}{5}$ .

$\frac{5 x^{3} (3 y^{- \frac{2}{5}})}{3 \cdot 5} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{\frac{2}{5}}}$

Langkah 11.3.12

Kalikan $3$ dengan $5$ .

$\frac{15 x^{3} y^{- \frac{2}{5}}}{3 \cdot 5} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{\frac{2}{5}}}$

Langkah 11.3.13

Kalikan $3$ dengan $5$ .

$\frac{15 x^{3} y^{- \frac{2}{5}}}{15} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{\frac{2}{5}}}$

Langkah 11.3.14

Pindahkan $y^{- \frac{2}{5}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{15 x^{3}}{15 y^{\frac{2}{5}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{\frac{2}{5}}}$

Langkah 11.3.15

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{15 x^{3}}{15 y^{\frac{2}{5}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{\frac{2}{5}}}$

Langkah 11.3.16

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x^{3}}{y^{\frac{2}{5}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{\frac{2}{5}}}$

Langkah 11.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{x^{3}}{y^{\frac{2}{5}}} + \frac{d g}{d y} = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{\frac{2}{5}}}$

Langkah 11.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3}}{y^{\frac{2}{5}}} = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{\frac{2}{5}}}$

Langkah 12

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Sederhanakan $\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3}}{y^{\frac{2}{5}}} - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{\frac{2}{5}}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - (x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{\frac{2}{5}}} = 0$

Langkah 12.1.1.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} + (- x - y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{\frac{2}{5}}} = 0$

Langkah 12.1.1.2.2

Perluas $(- x - y) (x^{2} - x y + y^{2})$ dengan mengalikan setiap suku dalam pernyataan pertama dengan setiap suku dalam pernyataan kedua.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x \cdot x^{2} - x (- x y) - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{y^{\frac{2}{5}}} = 0$

Langkah 12.1.1.2.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.2.3.1

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.2.3.1.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - (x^{2} x) - x (- x y) - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{y^{\frac{2}{5}}} = 0$

Langkah 12.1.1.2.3.1.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.2.3.1.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - (x^{2} x^{1}) - x (- x y) - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{y^{\frac{2}{5}}} = 0$

Langkah 12.1.1.2.3.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{2 + 1} - x (- x y) - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{y^{\frac{2}{5}}} = 0$

Langkah 12.1.1.2.3.1.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} - x (- x y) - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{y^{\frac{2}{5}}} = 0$

Langkah 12.1.1.2.3.2

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.2.3.2.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} - (x \cdot x) (- 1 y) - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{y^{\frac{2}{5}}} = 0$

Langkah 12.1.1.2.3.2.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} - x^{2} (- 1 y) - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{y^{\frac{2}{5}}} = 0$

Langkah 12.1.1.2.3.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} - 1 \cdot - 1 x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{y^{\frac{2}{5}}} = 0$

Langkah 12.1.1.2.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + 1 x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{y^{\frac{2}{5}}} = 0$

Langkah 12.1.1.2.3.5

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{y^{\frac{2}{5}}} = 0$

Langkah 12.1.1.2.3.6

Kalikan $y$ dengan $y$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.2.3.6.1

Pindahkan $y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} - (y \cdot y) (- x) - y \cdot y^{2}}{y^{\frac{2}{5}}} = 0$

Langkah 12.1.1.2.3.6.2

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} - y^{2} (- x) - y \cdot y^{2}}{y^{\frac{2}{5}}} = 0$

Langkah 12.1.1.2.3.7

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} - 1 \cdot - 1 y^{2} x - y \cdot y^{2}}{y^{\frac{2}{5}}} = 0$

Langkah 12.1.1.2.3.8

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} + 1 y^{2} x - y \cdot y^{2}}{y^{\frac{2}{5}}} = 0$

Langkah 12.1.1.2.3.9

Kalikan $y^{2}$ dengan $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} + y^{2} x - y \cdot y^{2}}{y^{\frac{2}{5}}} = 0$

Langkah 12.1.1.2.3.10

Kalikan $y$ dengan $y^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.2.3.10.1

Pindahkan $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} + y^{2} x - (y^{2} y)}{y^{\frac{2}{5}}} = 0$

Langkah 12.1.1.2.3.10.2

Kalikan $y^{2}$ dengan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.2.3.10.2.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} + y^{2} x - (y^{2} y^{1})}{y^{\frac{2}{5}}} = 0$

Langkah 12.1.1.2.3.10.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} + y^{2} x - y^{2 + 1}}{y^{\frac{2}{5}}} = 0$

Langkah 12.1.1.2.3.10.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} + y^{2} x - y^{3}}{y^{\frac{2}{5}}} = 0$

Langkah 12.1.1.2.4

Gabungkan suku balikan dalam $- x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} + y^{2} x - y^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.2.4.1

Susun kembali faktor-faktor dalam suku-suku $x^{2} y$ dan $- y x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - x^{2} y + y^{2} x - y^{3}}{y^{\frac{2}{5}}} = 0$

Langkah 12.1.1.2.4.2

Kurangi $x^{2} y$ dengan $x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} - x y^{2} + 0 + y^{2} x - y^{3}}{y^{\frac{2}{5}}} = 0$

Langkah 12.1.1.2.4.3

Tambahkan $- x^{3} - x y^{2}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} - x y^{2} + y^{2} x - y^{3}}{y^{\frac{2}{5}}} = 0$

Langkah 12.1.1.2.4.4

Susun kembali faktor-faktor dalam suku-suku $- x y^{2}$ dan $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} - y^{2} x + y^{2} x - y^{3}}{y^{\frac{2}{5}}} = 0$

Langkah 12.1.1.2.4.5

Tambahkan $- y^{2} x$ dan $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + 0 - y^{3}}{y^{\frac{2}{5}}} = 0$

Langkah 12.1.1.2.4.6

Tambahkan $- x^{3}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} - y^{3}}{y^{\frac{2}{5}}} = 0$

Langkah 12.1.1.3

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.3.1

Kurangi $x^{3}$ dengan $x^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 - y^{3}}{y^{\frac{2}{5}}} = 0$

Langkah 12.1.1.3.2

Kurangi $y^{3}$ dengan $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- y^{3}}{y^{\frac{2}{5}}} = 0$

Langkah 12.1.1.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.4.1

Pindahkan $y^{\frac{2}{5}}$ ke pembilang menggunakan aturan eksponen negatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{d g}{d y} - y^{3} y^{- \frac{2}{5}} = 0$

Langkah 12.1.1.4.2

Kalikan $y^{3}$ dengan $y^{- \frac{2}{5}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.4.2.1

Pindahkan $y^{- \frac{2}{5}}$ .

$\frac{d g}{d y} - (y^{- \frac{2}{5}} y^{3}) = 0$

Langkah 12.1.1.4.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{d g}{d y} - y^{- \frac{2}{5} + 3} = 0$

Langkah 12.1.1.4.2.3

Untuk menuliskan $3$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{5}{5}$ .

$\frac{d g}{d y} - y^{- \frac{2}{5} + 3 \cdot \frac{5}{5}} = 0$

Langkah 12.1.1.4.2.4

Gabungkan $3$ dan $\frac{5}{5}$ .

$\frac{d g}{d y} - y^{- \frac{2}{5} + \frac{3 \cdot 5}{5}} = 0$

Langkah 12.1.1.4.2.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d g}{d y} - y^{\frac{- 2 + 3 \cdot 5}{5}} = 0$

Langkah 12.1.1.4.2.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.4.2.6.1

Kalikan $3$ dengan $5$ .

$\frac{d g}{d y} - y^{\frac{- 2 + 15}{5}} = 0$

Langkah 12.1.1.4.2.6.2

Tambahkan $- 2$ dan $15$ .

$\frac{d g}{d y} - y^{\frac{13}{5}} = 0$

Langkah 12.1.2

Tambahkan $y^{\frac{13}{5}}$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d g}{d y} = y^{\frac{13}{5}}$

Langkah 13

Temukan $y^{\frac{13}{5}}$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = y^{\frac{13}{5}}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y^{\frac{13}{5}} d y$

Langkah 13.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y^{\frac{13}{5}} d y$

Langkah 13.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{\frac{13}{5}}$ terhadap $y$ adalah $\frac{5}{18} y^{\frac{18}{5}}$ .

$g (y) = \frac{5}{18} y^{\frac{18}{5}} + C$

Langkah 14

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = \frac{5}{3} y^{\frac{3}{5}} x^{3} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{5}{3} y^{\frac{3}{5}} x^{3} + \frac{5}{18} y^{\frac{18}{5}} + C$

Langkah 15

Sederhanakan $f (x, y) = \frac{5}{3} y^{\frac{3}{5}} x^{3} + \frac{5}{18} y^{\frac{18}{5}} + C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1.1

Gabungkan $\frac{5}{3}$ dan $y^{\frac{3}{5}}$ .

$f (x, y) = \frac{5 y^{\frac{3}{5}}}{3} x^{3} + \frac{5}{18} y^{\frac{18}{5}} + C$

Langkah 15.1.2

Gabungkan $\frac{5 y^{\frac{3}{5}}}{3}$ dan $x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{5 y^{\frac{3}{5}} x^{3}}{3} + \frac{5}{18} y^{\frac{18}{5}} + C$

Langkah 15.1.3

Gabungkan $\frac{5}{18}$ dan $y^{\frac{18}{5}}$ .

$f (x, y) = \frac{5 y^{\frac{3}{5}} x^{3}}{3} + \frac{5 y^{\frac{18}{5}}}{18} + C$

Langkah 15.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $f (x, y) = \frac{5 y^{\frac{3}{5}} x^{3}}{3} + \frac{5 y^{\frac{18}{5}}}{18} + C$ .

$f (x, y) = \frac{5 x^{3} y^{\frac{3}{5}}}{3} + \frac{5 y^{\frac{18}{5}}}{18} + C$