Kalkulus Contoh

$x \frac{d y}{d x} + 3 (y + x^{2}) = \frac{\sin (x)}{x}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$x \frac{d y}{d x} + 3 y + 3 x^{2} = \frac{\sin (x)}{x}$

Langkah 1.1.2

Kurangkan $3 x^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x \frac{d y}{d x} + 3 y = \frac{\sin (x)}{x} - 3 x^{2}$

Langkah 1.1.3

Susun kembali suku-suku.

$x \frac{d y}{d x} + 3 y = - 3 x^{2} + \frac{\sin (x)}{x}$

Langkah 1.2

Bagilah setiap suku di $x \frac{d y}{d x} + 3 y = - 3 x^{2} + \frac{\sin (x)}{x}$ dengan $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{3 y}{x} = \frac{- 3 x^{2}}{x} + \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Langkah 1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{3 y}{x} = \frac{- 3 x^{2}}{x} + \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Langkah 1.3.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{- 3 x^{2}}{x} + \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Langkah 1.4

Hapus faktor persekutuan dari $x^{2}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Faktorkan $x$ dari $- 3 x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x (- 3 x)}{x} + \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Langkah 1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x (- 3 x)}{x^{1}} + \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Langkah 1.4.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x (- 3 x)}{x \cdot 1} + \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Langkah 1.4.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x (- 3 x)}{x \cdot 1} + \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Langkah 1.4.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{- 3 x}{1} + \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Langkah 1.4.2.5

Bagilah $- 3 x$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = - 3 x + \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Langkah 1.5

Faktorkan $y$ dari $\frac{3 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{3}{x} = - 3 x + \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Langkah 1.6

Susun kembali $y$ dan $\frac{3}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y = - 3 x + \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = \frac{3}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int \frac{3}{x} d x}$

Langkah 2.2

Integralkan $\frac{3}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$e^{3 \int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 2.2.2

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$e^{3 (\ln (| x |) + C)}$

Langkah 2.2.3

Sederhanakan.

$e^{3 \ln (| x |) + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{3 \ln (x)}$

Langkah 2.4

Gunakan kaidah pangkat logaritma.

$e^{\ln (x^{3})}$

Langkah 2.5

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$x^{3}$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} (\frac{3}{x} y) = x^{3} (- 3 x) + x^{3} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Langkah 3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Gabungkan $\frac{3}{x}$ dan $y$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{3 y}{x} = x^{3} (- 3 x) + x^{3} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Langkah 3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} (- 3 x) + x^{3} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Langkah 3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} (- 3 x) + x^{3} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Langkah 3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{2} (3 y) = x^{3} (- 3 x) + x^{3} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Langkah 3.2.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{3} (- 3 x) + x^{3} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Langkah 3.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 x^{3} x + x^{3} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Langkah 3.3.2

Kalikan $x^{3}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Pindahkan $x$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 (x \cdot x^{3}) + x^{3} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Langkah 3.3.2.2

Kalikan $x$ dengan $x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 (x^{1} x^{3}) + x^{3} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Langkah 3.3.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 x^{1 + 3} + x^{3} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Langkah 3.3.2.3

Tambahkan $1$ dan $3$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 x^{4} + x^{3} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Langkah 3.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Faktorkan $x$ dari $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 x^{4} + x \cdot x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Langkah 3.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 x^{4} + x \cdot x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Langkah 3.3.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 x^{4} + x^{2} \frac{\sin (x)}{x}$

Langkah 3.3.4

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{\sin (x)}{x}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 x^{4} + \frac{x^{2} \sin (x)}{x}$

Langkah 3.3.5

Hapus faktor persekutuan dari $x^{2}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.5.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2} \sin (x)$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 x^{4} + \frac{x (x \sin (x))}{x}$

Langkah 3.3.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.5.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 x^{4} + \frac{x (x \sin (x))}{x^{1}}$

Langkah 3.3.5.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 x^{4} + \frac{x (x \sin (x))}{x \cdot 1}$

Langkah 3.3.5.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 x^{4} + \frac{x (x \sin (x))}{x \cdot 1}$

Langkah 3.3.5.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 x^{4} + \frac{x \sin (x)}{1}$

Langkah 3.3.5.2.5

Bagilah $x \sin (x)$ dengan $1$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 x^{4} + x \sin (x)$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [x^{3} y] = - 3 x^{4} + x \sin (x)$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [x^{3} y] d x = \int - 3 x^{4} + x \sin (x) d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$x^{3} y = \int - 3 x^{4} + x \sin (x) d x$

Langkah 7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$x^{3} y = \int - 3 x^{4} d x + \int x \sin (x) d x$

Langkah 7.2

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 3$ keluar dari integral.

$x^{3} y = - 3 \int x^{4} d x + \int x \sin (x) d x$

Langkah 7.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$x^{3} y = - 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int x \sin (x) d x$

Langkah 7.4

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = \sin (x)$ .

$x^{3} y = - 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x$

Langkah 7.5

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan $x^{5}$ .

$x^{3} y = - 3 (\frac{x^{5}}{5} + C) + x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x$

Langkah 7.6

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$x^{3} y = - 3 (\frac{x^{5}}{5} + C) + x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x$

Langkah 7.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$x^{3} y = - 3 (\frac{x^{5}}{5} + C) + x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x$

Langkah 7.7.2

Kalikan $\int \cos (x) d x$ dengan $1$ .

$x^{3} y = - 3 (\frac{x^{5}}{5} + C) + x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x$

Langkah 7.8

Integral dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $\sin (x)$ .

$x^{3} y = - 3 (\frac{x^{5}}{5} + C) + x (- \cos (x)) + \sin (x) + C$

Langkah 7.9

Sederhanakan.

$x^{3} y = - \frac{3 x^{5}}{5} - x \cos (x) + \sin (x) + C$

Langkah 7.10

Susun kembali suku-suku.

$x^{3} y = - \frac{3}{5} x^{5} - x \cos (x) + \sin (x) + C$

Langkah 8

Bagi setiap suku pada $x^{3} y = - \frac{3}{5} x^{5} - x \cos (x) + \sin (x) + C$ dengan $x^{3}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagilah setiap suku di $x^{3} y = - \frac{3}{5} x^{5} - x \cos (x) + \sin (x) + C$ dengan $x^{3}$ .

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{- \frac{3}{5} x^{5}}{x^{3}} + \frac{- x \cos (x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{- \frac{3}{5} x^{5}}{x^{3}} + \frac{- x \cos (x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Langkah 8.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{- \frac{3}{5} x^{5}}{x^{3}} + \frac{- x \cos (x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Langkah 8.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $x^{5}$ dan $x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1.1

Faktorkan $x^{3}$ dari $- \frac{3}{5} x^{5}$ .

$y = \frac{x^{3} (- \frac{3}{5} x^{2})}{x^{3}} + \frac{- x \cos (x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Langkah 8.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$y = \frac{x^{3} (- \frac{3}{5} x^{2})}{x^{3} \cdot 1} + \frac{- x \cos (x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Langkah 8.3.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{x^{3} (- \frac{3}{5} x^{2})}{x^{3} \cdot 1} + \frac{- x \cos (x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Langkah 8.3.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{- \frac{3}{5} x^{2}}{1} + \frac{- x \cos (x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Langkah 8.3.1.1.2.4

Bagilah $- \frac{3}{5} x^{2}$ dengan $1$ .

$y = - \frac{3}{5} x^{2} + \frac{- x \cos (x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Langkah 8.3.1.2

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{3}{5}$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 3}{5} + \frac{- x \cos (x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Langkah 8.3.1.3

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$y = - \frac{3 \cdot x^{2}}{5} + \frac{- x \cos (x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Langkah 8.3.1.4

Hapus faktor persekutuan dari $x$ dan $x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.4.1

Faktorkan $x$ dari $- x \cos (x)$ .

$y = - \frac{3 x^{2}}{5} + \frac{x (- \cos (x))}{x^{3}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Langkah 8.3.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.4.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{3}$ .

$y = - \frac{3 x^{2}}{5} + \frac{x (- \cos (x))}{x \cdot x^{2}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Langkah 8.3.1.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = - \frac{3 x^{2}}{5} + \frac{x (- \cos (x))}{x \cdot x^{2}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Langkah 8.3.1.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = - \frac{3 x^{2}}{5} + \frac{- \cos (x)}{x^{2}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Langkah 8.3.1.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - \frac{3 x^{2}}{5} - \frac{\cos (x)}{x^{2}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$