Kalkulus Contoh

$2 y d x + 3 x d y = 0$

Langkah 1

Kurangkan $2 y d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 x d y = - 2 y d x$

Langkah 2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} (3 x) d y = \frac{1}{x y} (- 2 y) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$3 \frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 2 y) d x$

Langkah 3.2

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{3}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 2 y) d x$

Langkah 3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Faktorkan $x$ dari $x y$ .

$\frac{3}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (- 2 y) d x$

Langkah 3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 2 y) d x$

Langkah 3.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3}{y} d y = \frac{1}{x y} (- 2 y) d x$

Langkah 3.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{3}{y} d y = - 2 \frac{1}{x y} y d x$

Langkah 3.5

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 2}{x y} y d x$

Langkah 3.6

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Faktorkan $y$ dari $x y$ .

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 2}{y x} y d x$

Langkah 3.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 2}{y x} y d x$

Langkah 3.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 2}{x} d x$

Langkah 3.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{3}{y} d y = - \frac{2}{x} d x$

Langkah 4

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{3}{y} d y = \int - \frac{2}{x} d x$

Langkah 4.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Karena $3$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$3 \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2}{x} d x$

Langkah 4.2.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$3 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{2}{x} d x$

Langkah 4.2.3

Sederhanakan.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{2}{x} d x$

Langkah 4.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{2}{x} d x$

Langkah 4.3.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - (2 \int \frac{1}{x} d x)$

Langkah 4.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.3.4

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\ln (| x |) + C_{2})$

Langkah 4.3.5

Sederhanakan.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - 2 \ln (| x |) + C_{2}$

Langkah 4.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$3 \ln (| y |) = - 2 \ln (| x |) + C$

Langkah 5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$3 \ln (| y |) + 2 \ln (| x |) = C$

Langkah 5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan $3 \ln (| y |) + 2 \ln (| x |)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.1

Sederhanakan $3 \ln (| y |)$ dengan memindahkan $3$ ke dalam logaritma.

$\ln ({| y |}^{3}) + 2 \ln (| x |) = C$

Langkah 5.2.1.1.2

Sederhanakan $2 \ln (| x |)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$\ln ({| y |}^{3}) + \ln ({| x |}^{2}) = C$

Langkah 5.2.1.1.3

Hapus nilai mutlak dalam ${| x |}^{2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$\ln ({| y |}^{3}) + \ln (x^{2}) = C$

Langkah 5.2.1.2

Gunakan sifat hasil kali dari logaritma, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({| y |}^{3} x^{2}) = C$

Langkah 5.2.1.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $\ln ({| y |}^{3} x^{2})$ .

$\ln (x^{2} {| y |}^{3}) = C$

Langkah 5.3

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (x^{2} {| y |}^{3})} = e^{C}$

Langkah 5.4

Tulis kembali $\ln (x^{2} {| y |}^{3}) = C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{C} = x^{2} {| y |}^{3}$

Langkah 5.5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $x^{2} {| y |}^{3} = e^{C}$ .

$x^{2} {| y |}^{3} = e^{C}$

Langkah 5.5.2

Bagi setiap suku pada $x^{2} {| y |}^{3} = e^{C}$ dengan $x^{2}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1

Bagilah setiap suku di $x^{2} {| y |}^{3} = e^{C}$ dengan $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} {| y |}^{3}}{x^{2}} = \frac{e^{C}}{x^{2}}$

Langkah 5.5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{2} {| y |}^{3}}{x^{2}} = \frac{e^{C}}{x^{2}}$

Langkah 5.5.2.2.1.2

Bagilah ${| y |}^{3}$ dengan $1$ .

${| y |}^{3} = \frac{e^{C}}{x^{2}}$

Langkah 5.5.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$| y | = \sqrt[3]{\frac{e^{C}}{x^{2}}}$

Langkah 5.5.4

Sederhanakan $\sqrt[3]{\frac{e^{C}}{x^{2}}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.1

Tulis kembali $\sqrt[3]{\frac{e^{C}}{x^{2}}}$ sebagai $\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Langkah 5.5.4.2

Kalikan $\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ dengan $\frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

Langkah 5.5.4.3

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.3.1

Kalikan $\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ dengan $\frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{\sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

Langkah 5.5.4.3.2

Naikkan $\sqrt[3]{x^{2}}$ menjadi pangkat $1$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{1} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

Langkah 5.5.4.3.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{1 + 2}}$

Langkah 5.5.4.3.4

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{3}}$

Langkah 5.5.4.3.5

Tulis kembali ${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3}$ sebagai $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.3.5.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{x^{2}}$ sebagai $x^{\frac{2}{3}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{3}}$

Langkah 5.5.4.3.5.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2}{3} \cdot 3}}$

Langkah 5.5.4.3.5.3

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $3$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2 \cdot 3}{3}}}$

Langkah 5.5.4.3.5.4

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{6}{3}}}$

Langkah 5.5.4.3.5.5

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.3.5.5.1

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3}}}$

Langkah 5.5.4.3.5.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.3.5.5.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3 (1)}}}$

Langkah 5.5.4.3.5.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}}}$

Langkah 5.5.4.3.5.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2}{1}}}$

Langkah 5.5.4.3.5.5.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2}}$

Langkah 5.5.4.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.4.1

Tulis kembali ${\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}$ sebagai $\sqrt[3]{{(x^{2})}^{2}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} \sqrt[3]{{(x^{2})}^{2}}}{x^{2}}$

Langkah 5.5.4.4.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.4.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{2 \cdot 2}}}{x^{2}}$

Langkah 5.5.4.4.2.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{4}}}{x^{2}}$

Langkah 5.5.4.4.3

Faktorkan $x^{3}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{3} x}}{x^{2}}$

Langkah 5.5.4.4.4

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} x \sqrt[3]{x}}{x^{2}}$

Langkah 5.5.4.4.5

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$| y | = \frac{x \sqrt[3]{e^{C} x}}{x^{2}}$

Langkah 5.5.4.5

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.5.1

Hapus faktor persekutuan dari $x$ dan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.5.1.1

Faktorkan $x$ dari $x \sqrt[3]{e^{C} x}$ .

$| y | = \frac{x \sqrt[3]{e^{C} x}}{x^{2}}$

Langkah 5.5.4.5.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.5.1.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$| y | = \frac{x \sqrt[3]{e^{C} x}}{x \cdot x}$

Langkah 5.5.4.5.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$| y | = \frac{x \sqrt[3]{e^{C} x}}{x \cdot x}$

Langkah 5.5.4.5.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C} x}}{x}$

Langkah 5.5.4.5.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{\sqrt[3]{e^{C} x}}{x}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{x e^{C}}}{x}$

Langkah 5.5.5

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[3]{x e^{C}}}{x}$

Langkah 6

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \pm \frac{\sqrt[3]{x C}}{x}$