Kalkulus Contoh

$y \frac{d x}{d y} - x = 2 y^{2}$ , $y (1) = 5$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $\frac{d x}{d y} + M (y) x = Q (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Bagilah setiap suku di $y \frac{d x}{d y} - x = 2 y^{2}$ dengan $y$ .

$\frac{y \frac{d x}{d y}}{y} + \frac{- x}{y} = \frac{2 y^{2}}{y}$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y \frac{d x}{d y}}{y} + \frac{- x}{y} = \frac{2 y^{2}}{y}$

Langkah 1.2.2

Bagilah $\frac{d x}{d y}$ dengan $1$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- x}{y} = \frac{2 y^{2}}{y}$

Langkah 1.3

Hapus faktor persekutuan dari $y^{2}$ dan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Faktorkan $y$ dari $2 y^{2}$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- x}{y} = \frac{y (2 y)}{y}$

Langkah 1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- x}{y} = \frac{y (2 y)}{y^{1}}$

Langkah 1.3.2.2

Faktorkan $y$ dari $y^{1}$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- x}{y} = \frac{y (2 y)}{y \cdot 1}$

Langkah 1.3.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d x}{d y} + \frac{- x}{y} = \frac{y (2 y)}{y \cdot 1}$

Langkah 1.3.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d x}{d y} + \frac{- x}{y} = \frac{2 y}{1}$

Langkah 1.3.2.5

Bagilah $2 y$ dengan $1$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- x}{y} = 2 y$

Langkah 1.4

Faktorkan $x$ dari $\frac{- x}{y}$ .

$\frac{d x}{d y} + x \frac{- 1}{y} = 2 y$

Langkah 1.5

Susun kembali $x$ dan $\frac{- 1}{y}$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- 1}{y} x = 2 y$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (y) d y}$ , di mana $P (y) = \frac{- 1}{y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int \frac{- 1}{y} d y}$

Langkah 2.2

Integralkan $\frac{- 1}{y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Pisahkan pecahan menjadi beberapa pecahan.

$e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Langkah 2.2.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Langkah 2.2.3

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Langkah 2.2.4

Sederhanakan.

$e^{- \ln (| y |) + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{- \ln (y)}$

Langkah 2.4

Gunakan kaidah pangkat logaritma.

$e^{\ln (y^{- 1})}$

Langkah 2.5

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$y^{- 1}$

Langkah 2.6

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{y}$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $\frac{1}{y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d x}{d y} + \frac{1}{y} (\frac{- 1}{y} x) = \frac{1}{y} (2 y)$

Langkah 3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Gabungkan $\frac{1}{y}$ dan $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} + \frac{1}{y} (\frac{- 1}{y} x) = \frac{1}{y} (2 y)$

Langkah 3.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} + \frac{1}{y} (- \frac{1}{y} x) = \frac{1}{y} (2 y)$

Langkah 3.2.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} - \frac{1}{y} (\frac{1}{y} x) = \frac{1}{y} (2 y)$

Langkah 3.2.4

Gabungkan $\frac{1}{y}$ dan $x$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} - \frac{1}{y} \cdot \frac{x}{y} = \frac{1}{y} (2 y)$

Langkah 3.2.5

Kalikan $- \frac{1}{y} \cdot \frac{x}{y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.1

Kalikan $\frac{x}{y}$ dengan $\frac{1}{y}$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} - \frac{x}{y \cdot y} = \frac{1}{y} (2 y)$

Langkah 3.2.5.2

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} - \frac{x}{y^{1} y} = \frac{1}{y} (2 y)$

Langkah 3.2.5.3

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} - \frac{x}{y^{1} y^{1}} = \frac{1}{y} (2 y)$

Langkah 3.2.5.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} - \frac{x}{y^{1 + 1}} = \frac{1}{y} (2 y)$

Langkah 3.2.5.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} - \frac{x}{y^{2}} = \frac{1}{y} (2 y)$

Langkah 3.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} - \frac{x}{y^{2}} = 2 \frac{1}{y} y$

Langkah 3.4

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{y}$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} - \frac{x}{y^{2}} = \frac{2}{y} y$

Langkah 3.5

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} - \frac{x}{y^{2}} = \frac{2}{y} y$

Langkah 3.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} - \frac{x}{y^{2}} = 2$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{y} x] = 2$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d y} [\frac{1}{y} x] d y = \int 2 d y$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$\frac{1}{y} x = \int 2 d y$

Langkah 7

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{y} x = 2 y + C$

Langkah 8

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Gabungkan $\frac{1}{y}$ dan $x$ .

$\frac{x}{y} = 2 y + C$

Langkah 8.2

Kalikan kedua ruas dengan $y$ .

$\frac{x}{y} y = (2 y + C) y$

Langkah 8.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x}{y} y = (2 y + C) y$

Langkah 8.3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x = (2 y + C) y$

Langkah 8.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Sederhanakan $(2 y + C) y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$x = 2 y \cdot y + C y$

Langkah 8.3.2.1.2

Kalikan $y$ dengan $y$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1.2.1

Pindahkan $y$ .

$x = 2 (y \cdot y) + C y$

Langkah 8.3.2.1.2.2

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$x = 2 y^{2} + C y$

Langkah 8.3.2.1.3

Susun kembali $2 y^{2}$ dan $C y$ .

$x = C y + 2 y^{2}$

Langkah 9

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $C$ dengan mensubstitusikan $1$ untuk $y$ dan $5$ untuk $x$ padda $x = C y + 2 y^{2}$ .

$5 = C \cdot 1 + 2 \cdot 1^{2}$

Langkah 10

Selesaikan $C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $C \cdot 1 + 2 \cdot 1^{2} = 5$ .

$C \cdot 1 + 2 \cdot 1^{2} = 5$

Langkah 10.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Kalikan $C$ dengan $1$ .

$C + 2 \cdot 1^{2} = 5$

Langkah 10.2.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$C + 2 \cdot 1 = 5$

Langkah 10.2.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$C + 2 = 5$

Langkah 10.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $C$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$C = 5 - 2$

Langkah 10.3.2

Kurangi $2$ dengan $5$ .

$C = 3$

Langkah 11

Substitusikan $3$ untuk $C$ dalam $x = C y + 2 y^{2}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Substitusikan $3$ untuk $C$ .

$x = 3 y + 2 y^{2}$