Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} + 4 x - 4}{2 y - 4}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $2 y - 4$ .

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (2 y - 4) \frac{3 x^{2} + 4 x - 4}{2 y - 4}$

Langkah 1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 3 \cdot - 4 = - 12$ dan yang jumlahnya adalah $b = 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1.1

Faktorkan $4$ dari $4 x$ .

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (2 y - 4) \frac{3 x^{2} + 4 (x) - 4}{2 y - 4}$

Langkah 1.2.1.1.2

Tulis kembali $4$ sebagai $- 2$ ditambah $6$

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (2 y - 4) \frac{3 x^{2} + (- 2 + 6) x - 4}{2 y - 4}$

Langkah 1.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (2 y - 4) \frac{3 x^{2} - 2 x + 6 x - 4}{2 y - 4}$

Langkah 1.2.1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (2 y - 4) \frac{(3 x^{2} - 2 x) + 6 x - 4}{2 y - 4}$

Langkah 1.2.1.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (2 y - 4) \frac{x (3 x - 2) + 2 (3 x - 2)}{2 y - 4}$

Langkah 1.2.1.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $3 x - 2$ .

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (2 y - 4) \frac{(3 x - 2) (x + 2)}{2 y - 4}$

Langkah 1.2.2

Faktorkan $2$ dari $2 y - 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 y$ .

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (2 y - 4) \frac{(3 x - 2) (x + 2)}{2 (y) - 4}$

Langkah 1.2.2.2

Faktorkan $2$ dari $- 4$ .

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (2 y - 4) \frac{(3 x - 2) (x + 2)}{2 y + 2 \cdot - 2}$

Langkah 1.2.2.3

Faktorkan $2$ dari $2 y + 2 \cdot - 2$ .

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (2 y - 4) \frac{(3 x - 2) (x + 2)}{2 (y - 2)}$

Langkah 1.2.3

Kalikan $2 y - 4$ dengan $\frac{(3 x - 2) (x + 2)}{2 (y - 2)}$ .

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(2 y - 4) ((3 x - 2) (x + 2))}{2 (y - 2)}$

Langkah 1.2.4

Hapus faktor persekutuan dari $2 y - 4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Faktorkan $2$ dari $(2 y - 4) ((3 x - 2) (x + 2))$ .

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{2 ((y - 2) ((3 x - 2) (x + 2)))}{2 (y - 2)}$

Langkah 1.2.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{2 ((y - 2) ((3 x - 2) (x + 2)))}{2 (y - 2)}$

Langkah 1.2.4.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(y - 2) ((3 x - 2) (x + 2))}{y - 2}$

Langkah 1.2.5

Batalkan faktor persekutuan dari $y - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(y - 2) ((3 x - 2) (x + 2))}{y - 2}$

Langkah 1.2.5.2

Bagilah $(3 x - 2) (x + 2)$ dengan $1$ .

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (3 x - 2) (x + 2)$

Langkah 1.2.6

Perluas $(3 x - 2) (x + 2)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1

Terapkan sifat distributif.

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = 3 x (x + 2) - 2 (x + 2)$

Langkah 1.2.6.2

Terapkan sifat distributif.

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = 3 x \cdot x + 3 x \cdot 2 - 2 (x + 2)$

Langkah 1.2.6.3

Terapkan sifat distributif.

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = 3 x \cdot x + 3 x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2$

Langkah 1.2.7

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.1.1.1

Pindahkan $x$ .

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2$

Langkah 1.2.7.1.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + 3 x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2$

Langkah 1.2.7.1.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + 6 x - 2 x - 2 \cdot 2$

Langkah 1.2.7.1.3

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + 6 x - 2 x - 4$

Langkah 1.2.7.2

Kurangi $2 x$ dengan $6 x$ .

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + 4 x - 4$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$(2 y - 4) d y = (3 x^{2} + 4 x - 4) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int 2 y - 4 d y = \int 3 x^{2} + 4 x - 4 d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int 2 y d y + \int - 4 d y = \int 3 x^{2} + 4 x - 4 d x$

Langkah 2.2.2

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int y d y + \int - 4 d y = \int 3 x^{2} + 4 x - 4 d x$

Langkah 2.2.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int - 4 d y = \int 3 x^{2} + 4 x - 4 d x$

Langkah 2.2.4

Terapkan aturan konstanta.

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - 4 y + C_{2} = \int 3 x^{2} + 4 x - 4 d x$

Langkah 2.2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - 4 y + C_{2} = \int 3 x^{2} + 4 x - 4 d x$

Langkah 2.2.5.2

Sederhanakan.

$y^{2} - 4 y + C_{3} = \int 3 x^{2} + 4 x - 4 d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$y^{2} - 4 y + C_{3} = \int 3 x^{2} d x + \int 4 x d x + \int - 4 d x$

Langkah 2.3.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$y^{2} - 4 y + C_{3} = 3 \int x^{2} d x + \int 4 x d x + \int - 4 d x$

Langkah 2.3.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y^{2} - 4 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + \int 4 x d x + \int - 4 d x$

Langkah 2.3.4

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$y^{2} - 4 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + 4 \int x d x + \int - 4 d x$

Langkah 2.3.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y^{2} - 4 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + \int - 4 d x$

Langkah 2.3.6

Terapkan aturan konstanta.

$y^{2} - 4 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) - 4 x + C_{6}$

Langkah 2.3.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.1.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$y^{2} - 4 y + C_{3} = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{4}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) - 4 x + C_{6}$

Langkah 2.3.7.1.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$y^{2} - 4 y + C_{3} = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{4}) + 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{5}) - 4 x + C_{6}$

Langkah 2.3.7.2

Sederhanakan.

$y^{2} - 4 y + C_{3} = x^{3} + 2 x^{2} - 4 x + C_{7}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$y^{2} - 4 y = x^{3} + 2 x^{2} - 4 x + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Pindahkan semua pernyataan ke sisi kiri dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Kurangkan $x^{3}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y^{2} - 4 y - x^{3} = 2 x^{2} - 4 x + K$

Langkah 3.1.2

Kurangkan $2 x^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y^{2} - 4 y - x^{3} - 2 x^{2} = - 4 x + K$

Langkah 3.1.3

Tambahkan $4 x$ ke kedua sisi persamaan.

$y^{2} - 4 y - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x = K$

Langkah 3.1.4

Kurangkan $K$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y^{2} - 4 y - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K = 0$

Langkah 3.2

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 3.3

Substitusikan nilai-nilai $a = 1$ , $b = - 4$ , dan $c = - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $y$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1

Faktorkan $- 4$ dari ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1.1

Faktorkan $- 4$ dari ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.4.1.1.2

Faktorkan $- 4$ dari $- 4 \cdot 1 \cdot (- x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.4.1.1.3

Faktorkan $- 4$ dari $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.4.1.2

Kalikan $- x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K$ dengan $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.4.1.3

Tulis kembali $- 4 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)$ sebagai $2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 2^{2} x - K))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.3.1

Faktorkan $4$ dari $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.4.1.3.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.4.1.3.3

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 2^{2} x - K))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.4.1.3.4

Tambahkan tanda kurung.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 2^{2} x - K))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.4.1.4

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 2^{2} x - K)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.4.1.5

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.4.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}}{2}$

Langkah 3.4.3

Sederhanakan $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}$

Langkah 3.5

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}$

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + K)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + K)}$