Kalkulus Contoh

$x d y + (2 y - 10 x^{2}) d x = 0$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial agar sesuai dengan teknik persamaan diferensial Eksak.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali.

$(2 y - 10 x^{2}) d x + x d y = 0$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = 2 y - 10 x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 y - 10 x^{2}]$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 y - 10 x^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 10 x^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 10 x^{2}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 y$ terhadap $y$ adalah $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 10 x^{2}]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 10 x^{2}]$

Langkah 2.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + \frac{d}{d y} [- 10 x^{2}]$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $- 10 x^{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 10 x^{2}$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 0$

Langkah 2.4.2

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2$

Langkah 3

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Langkah 4

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $2$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $1$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 = 1$

Langkah 4.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$2 = 1$ bukan identitas.

Langkah 5

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $2$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Langkah 5.2

Substitusikan $1$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 - 1}{N}$

Langkah 5.3

Substitusikan $x$ untuk $N$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Substitusikan $x$ untuk $N$ .

$\frac{2 - 1}{x}$

Langkah 5.3.2

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{x}$

Langkah 5.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 6

Evaluasi integral $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

Langkah 6.2

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

Langkah 6.2.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$μ (x, y) = | x | + C$

Langkah 7

Kalikan kedua sisi $(2 y - 10 x^{2}) d x + x d y = 0$ dengan faktor integral $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $2 y - 10 x^{2}$ dengan $x$ .

$(2 y - 10 x^{2}) x d x + x d y = 0$

Langkah 7.2

Terapkan sifat distributif.

$(2 y x - 10 x^{2} x) d x + x d y = 0$

Langkah 7.3

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Pindahkan $x$ .

$(2 y x - 10 (x \cdot x^{2})) d x + x d y = 0$

Langkah 7.3.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$(2 y x - 10 (x^{1} x^{2})) d x + x d y = 0$

Langkah 7.3.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$(2 y x - 10 x^{1 + 2}) d x + x d y = 0$

Langkah 7.3.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$(2 y x - 10 x^{3}) d x + x d y = 0$

Langkah 7.4

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$(2 y x - 10 x^{3}) d x + x \cdot x d y = 0$

Langkah 7.5

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$(2 y x - 10 x^{3}) d x + x^{2} d y = 0$

Langkah 8

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{2} d y$

Langkah 9

Integralkan $N (x, y) = x^{2}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = x^{2} y + C$

Langkah 10

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y + g (x)$

Langkah 11

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 y x - 10 x^{3}$

Langkah 12

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y + g (x)] = 2 y x - 10 x^{3}$

Langkah 12.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} y + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x - 10 x^{3}$

Langkah 12.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $x^{2} y$ terhadap $x$ adalah $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x - 10 x^{3}$

Langkah 12.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$y (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x - 10 x^{3}$

Langkah 12.3.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y$ .

$2 y x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x - 10 x^{3}$

Langkah 12.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y x + \frac{d g}{d x} = 2 y x - 10 x^{3}$

Langkah 12.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} + 2 x y = 2 y x - 10 x^{3}$

Langkah 13

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Kurangkan $2 x y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} = 2 y x - 10 x^{3} - 2 x y$

Langkah 13.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $2 y x - 10 x^{3} - 2 x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.2.1

Susun kembali faktor-faktor dalam suku-suku $2 y x$ dan $- 2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x y - 10 x^{3} - 2 x y$

Langkah 13.1.2.2

Kurangi $2 x y$ dengan $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = - 10 x^{3} + 0$

Langkah 13.1.2.3

Tambahkan $- 10 x^{3}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - 10 x^{3}$

Langkah 14

Temukan $- 10 x^{3}$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = - 10 x^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - 10 x^{3} d x$

Langkah 14.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - 10 x^{3} d x$

Langkah 14.3

Karena $- 10$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 10$ keluar dari integral.

$g (x) = - 10 \int x^{3} d x$

Langkah 14.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$g (x) = - 10 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Langkah 14.5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.5.1

Tulis kembali $- 10 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ sebagai $- 10 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$ .

$g (x) = - 10 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

Langkah 14.5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.5.2.1

Gabungkan $- 10$ dan $\frac{1}{4}$ .

$g (x) = \frac{- 10}{4} x^{4} + C$

Langkah 14.5.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 10$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.5.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 10$ .

$g (x) = \frac{2 (- 5)}{4} x^{4} + C$

Langkah 14.5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.5.2.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$g (x) = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 2} x^{4} + C$

Langkah 14.5.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$g (x) = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 2} x^{4} + C$

Langkah 14.5.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$g (x) = \frac{- 5}{2} x^{4} + C$

Langkah 14.5.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$g (x) = - \frac{5}{2} x^{4} + C$

Langkah 15

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = x^{2} y + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y - \frac{5}{2} x^{4} + C$

Langkah 16

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Gabungkan $x^{4}$ dan $\frac{5}{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} y - \frac{x^{4} \cdot 5}{2} + C$

Langkah 16.2

Pindahkan $5$ ke sebelah kiri $x^{4}$ .

$f (x, y) = x^{2} y - \frac{5 x^{4}}{2} + C$