Kalkulus Contoh

$y^{2} d x + (3 x y - 1) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = 3 x y - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x y - 1]$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x y - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $3 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x y$ terhadap $x$ adalah $3 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.3.3

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y + 0$

Langkah 2.4.2

Tambahkan $3 y$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $2 y$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $3 y$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y = 3 y$

Langkah 3.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$2 y = 3 y$ bukan identitas.

Langkah 4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $3 y$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{3 y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Langkah 4.2

Substitusikan $2 y$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{3 y - (2 y)}{M}$

Langkah 4.3

Substitusikan $y^{2}$ untuk $M$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $y^{2}$ untuk $M$ .

$\frac{3 y - (2 y)}{y^{2}}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Faktorkan $y$ dari $3 y - 1 \cdot 2 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Faktorkan $y$ dari $3 y$ .

$\frac{y \cdot 3 - 1 \cdot 2 y}{y^{2}}$

Langkah 4.3.2.1.2

Faktorkan $y$ dari $- 1 \cdot 2 y$ .

$\frac{y \cdot 3 + y (- 1 \cdot 2)}{y^{2}}$

Langkah 4.3.2.1.3

Faktorkan $y$ dari $y \cdot 3 + y (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{y (3 - 1 \cdot 2)}{y^{2}}$

Langkah 4.3.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{y (3 - 2)}{y^{2}}$

Langkah 4.3.2.3

Kurangi $2$ dengan $3$ .

$\frac{y \cdot 1}{y^{2}}$

Langkah 4.3.3

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$\frac{y}{y^{2}}$

Langkah 4.3.4

Substitusikan $y^{2}$ untuk $M$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{y^{1}}{y^{2}}$

Langkah 4.3.4.2

Faktorkan $y$ dari $y^{1}$ .

$\frac{y \cdot 1}{y^{2}}$

Langkah 4.3.4.3

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.3.1

Faktorkan $y$ dari $y^{2}$ .

$\frac{y \cdot 1}{y \cdot y}$

Langkah 4.3.4.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y \cdot 1}{y \cdot y}$

Langkah 4.3.4.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y}$

Langkah 4.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{y} d y}$

Langkah 5

Evaluasi integral $e^{\int \frac{1}{y} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |) + C}$

Langkah 5.2

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |)} + C$

Langkah 5.2.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$μ (x, y) = | y | + C$

Langkah 6

Kalikan kedua sisi $y^{2} d x + (3 x y - 1) d y = 0$ dengan faktor integral $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $y^{2}$ dengan $y$ .

$y^{2} y d x + (3 x y - 1) d y = 0$

Langkah 6.2

Kalikan $y^{2}$ dengan $y$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Kalikan $y^{2}$ dengan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$y^{2} y^{1} d x + (3 x y - 1) d y = 0$

Langkah 6.2.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y^{2 + 1} d x + (3 x y - 1) d y = 0$

Langkah 6.2.2

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$y^{3} d x + (3 x y - 1) d y = 0$

Langkah 6.3

Kalikan $3 x y - 1$ dengan $y$ .

$y^{3} d x + (3 x y - 1) y d y = 0$

Langkah 6.4

Terapkan sifat distributif.

$y^{3} d x + (3 x y \cdot y - 1 y) d y = 0$

Langkah 6.5

Kalikan $y$ dengan $y$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Pindahkan $y$ .

$y^{3} d x + (3 x (y \cdot y) - 1 y) d y = 0$

Langkah 6.5.2

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$y^{3} d x + (3 x y^{2} - 1 y) d y = 0$

Langkah 6.6

Tulis kembali $- 1 y$ sebagai $- y$ .

$y^{3} d x + (3 x y^{2} - y) d y = 0$

Langkah 7

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y^{3} d x$

Langkah 8

Integralkan $M (x, y) = y^{3}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = y^{3} x + C$

Langkah 9

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = y^{3} x + g (y)$

Langkah 10

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x y^{2} - y$

Langkah 11

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3} x + g (y)] = 3 x y^{2} - y$

Langkah 11.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y^{3} x + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - y$

Langkah 11.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [y^{3} x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $y^{3} x$ terhadap $y$ adalah $x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - y$

Langkah 11.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - y$

Langkah 11.3.3

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x$ .

$3 x y^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - y$

Langkah 11.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$3 x y^{2} + \frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - y$

Langkah 11.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x = 3 x y^{2} - y$

Langkah 12

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d y}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Kurangkan $3 y^{2} x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - y - 3 y^{2} x$

Langkah 12.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $3 x y^{2} - y - 3 y^{2} x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.2.1

Susun kembali faktor-faktor dalam suku-suku $3 x y^{2}$ dan $- 3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} x - y - 3 y^{2} x$

Langkah 12.1.2.2

Kurangi $3 y^{2} x$ dengan $3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = - y + 0$

Langkah 12.1.2.3

Tambahkan $- y$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - y$

Langkah 13

Temukan $- y$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = - y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y d y$

Langkah 13.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - y d y$

Langkah 13.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$g (y) = - \int y d y$

Langkah 13.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = - (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Langkah 13.5

Tulis kembali $- (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ sebagai $- \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$g (y) = - \frac{1}{2} y^{2} + C$

Langkah 14

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = y^{3} x + g (y)$ .

$f (x, y) = y^{3} x - \frac{1}{2} y^{2} + C$

Langkah 15

Gabungkan $y^{2}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = y^{3} x - \frac{y^{2}}{2} + C$