Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x y}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai fungsi dari $\frac{y}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Pisahkan $\frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x y}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Pisahkan pecahan $\frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x y}$ menjadi dua pecahan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{x y} + \frac{2 y^{2}}{x y}$

Langkah 1.1.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $x^{2}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x y} + \frac{2 y^{2}}{x y}$

Langkah 1.1.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1.2.1

Faktorkan $x$ dari $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x (y)} + \frac{2 y^{2}}{x y}$

Langkah 1.1.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x y} + \frac{2 y^{2}}{x y}$

Langkah 1.1.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{2 y^{2}}{x y}$

Langkah 1.1.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $y^{2}$ dan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.1

Faktorkan $y$ dari $2 y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{y (2 y)}{x y}$

Langkah 1.1.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.2.1

Faktorkan $y$ dari $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{y (2 y)}{y x}$

Langkah 1.1.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{y (2 y)}{y x}$

Langkah 1.1.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{2 y}{x}$

Langkah 1.2

Tulis kembali $\frac{x}{y}$ sebagai ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{y}{x})}^{- 1} + \frac{2 y}{x}$

Langkah 1.3

Faktorkan $\frac{y}{x}$ dari $\frac{2 y}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Faktorkan $\frac{y}{x}$ dari $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{y}{x})}^{- 1} + \frac{y}{x} \cdot 2$

Langkah 1.3.2

Susun kembali $\frac{y}{x}$ dan $2$ .

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{y}{x})}^{- 1} + 2 \cdot \frac{y}{x}$

Langkah 2

Biarkan $V = \frac{y}{x}$ . Substitusikan $V$ ke $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V^{- 1} + 2 \cdot V$

Langkah 3

Selesaikan $V = \frac{y}{x}$ untuk $y$ .

$y = V x$

Langkah 4

Gunakan kaidah hasil kali untuk mencari turunan dari $y = V x$ terhadap $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Langkah 5

Substitusikan $x \frac{d V}{d x} + V$ untuk $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V^{- 1} + 2 \cdot V$

Langkah 6

Selesaikan persamaan diferensial tersubstitusi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Selesaikan $\frac{d V}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{V} + 2 V$

Langkah 6.1.1.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d V}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.1

Kurangkan $V$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} + 2 V - V$

Langkah 6.1.1.2.2

Kurangi $V$ dengan $2 V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} + V$

Langkah 6.1.1.3

Bagi setiap suku pada $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} + V$ dengan $x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.1

Bagilah setiap suku di $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} + V$ dengan $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{V}}{x} + \frac{V}{x}$

Langkah 6.1.1.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{V}}{x} + \frac{V}{x}$

Langkah 6.1.1.3.2.1.2

Bagilah $\frac{d V}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{V}}{x} + \frac{V}{x}$

Langkah 6.1.1.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.3.1.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} \cdot \frac{1}{x} + \frac{V}{x}$

Langkah 6.1.1.3.3.1.2

Kalikan $\frac{1}{V}$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} + \frac{V}{x}$

Langkah 6.1.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.1

Untuk menuliskan $\frac{V}{x}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} + \frac{V}{x} \cdot \frac{V}{V}$

Langkah 6.1.2.2

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $V x$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.2.1

Kalikan $\frac{V}{x}$ dengan $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} + \frac{V \cdot V}{x V}$

Langkah 6.1.2.2.2

Susun kembali faktor-faktor dari $x V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} + \frac{V \cdot V}{V x}$

Langkah 6.1.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V \cdot V}{V x}$

Langkah 6.1.2.4

Kalikan $V$ dengan $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{V x}$

Langkah 6.1.3

Kelompokkan kembali faktor.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{V} \cdot \frac{1}{x}$

Langkah 6.1.4

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{V}{1 + V^{2}}$ .

$\frac{V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 + V^{2}} (\frac{1 + V^{2}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Langkah 6.1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.5.1

Kalikan $\frac{1 + V^{2}}{V}$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1 + V^{2}}{V x}$

Langkah 6.1.5.2

Batalkan faktor persekutuan dari $V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.5.2.1

Faktorkan $V$ dari $V x$ .

$\frac{V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1 + V^{2}}{V (x)}$

Langkah 6.1.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1 + V^{2}}{V x}$

Langkah 6.1.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1 + V^{2}}{x}$

Langkah 6.1.5.3

Batalkan faktor persekutuan dari $1 + V^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.5.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1 + V^{2}}{x}$

Langkah 6.1.5.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Langkah 6.1.6

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{V}{1 + V^{2}} d V = \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{V}{1 + V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Biarkan $u = 1 + V^{2}$ . Kemudian $d u = 2 V d V$ sehingga $\frac{1}{2} d u = V d V$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1

Biarkan $u = 1 + V^{2}$ . Tentukan $\frac{d u}{d V}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1.1

Diferensialkan $1 + V^{2}$ .

$\frac{d}{d V} [1 + V^{2}]$

Langkah 6.2.2.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + V^{2}$ terhadap $V$ adalah $\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [V^{2}]$ .

$\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [V^{2}]$

Langkah 6.2.2.1.1.3

Karena $1$ konstan terhadap $V$ , turunan dari $1$ terhadap $V$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d V} [V^{2}]$

Langkah 6.2.2.1.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ adalah $n V^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 + 2 V$

Langkah 6.2.2.1.1.5

Tambahkan $0$ dan $2 V$ .

$2 V$

Langkah 6.2.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.2.1

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.4

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.5

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.6

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $1 + V^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + V^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.3

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + V^{2} |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Langkah 6.2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + V^{2} |) = \ln (| x |) + C$

Langkah 6.3

Selesaikan $V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + V^{2} |)) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Langkah 6.3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + V^{2} |))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\ln (| 1 + V^{2} |)$ .

$2 \frac{\ln (| 1 + V^{2} |)}{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

Langkah 6.3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{\ln (| 1 + V^{2} |)}{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

Langkah 6.3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (| 1 + V^{2} |) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Langkah 6.3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\ln (| 1 + V^{2} |) = 2 \ln (| x |) + 2 C$

Langkah 6.3.3

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| 1 + V^{2} |) - 2 \ln (| x |) = 2 C$

Langkah 6.3.4

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.4.1

Sederhanakan $\ln (| 1 + V^{2} |) - 2 \ln (| x |)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.4.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.4.1.1.1

Sederhanakan $- 2 \ln (| x |)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$\ln (| 1 + V^{2} |) - \ln ({| x |}^{2}) = 2 C$

Langkah 6.3.4.1.1.2

Hapus nilai mutlak dalam ${| x |}^{2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$\ln (| 1 + V^{2} |) - \ln (x^{2}) = 2 C$

Langkah 6.3.4.1.2

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 + V^{2} |}{x^{2}}) = 2 C$

Langkah 6.3.5

Untuk menyelesaikan $V$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (\frac{| 1 + V^{2} |}{x^{2}})} = e^{2 C}$

Langkah 6.3.6

Tulis kembali $\ln (\frac{| 1 + V^{2} |}{x^{2}}) = 2 C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = \frac{| 1 + V^{2} |}{x^{2}}$

Langkah 6.3.7

Selesaikan $V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.7.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{| 1 + V^{2} |}{x^{2}} = e^{2 C}$ .

$\frac{| 1 + V^{2} |}{x^{2}} = e^{2 C}$

Langkah 6.3.7.2

Kalikan kedua ruas dengan $x^{2}$ .

$\frac{| 1 + V^{2} |}{x^{2}} x^{2} = e^{2 C} x^{2}$

Langkah 6.3.7.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.7.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.7.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.7.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{| 1 + V^{2} |}{x^{2}} x^{2} = e^{2 C} x^{2}$

Langkah 6.3.7.3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$| 1 + V^{2} | = e^{2 C} x^{2}$

Langkah 6.3.7.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.7.3.2.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{2 C} x^{2}$ .

$| 1 + V^{2} | = x^{2} e^{2 C}$

Langkah 6.3.7.4

Selesaikan $V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.7.4.1

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$1 + V^{2} = \pm x^{2} e^{2 C}$

Langkah 6.3.7.4.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$V^{2} = \pm x^{2} e^{2 C} - 1$

Langkah 6.3.7.4.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$V = \pm \sqrt{\pm x^{2} e^{2 C} - 1}$

Langkah 6.4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Sederhanakan konstanta dari integral.

$V = \pm \sqrt{\pm x^{2} C - 1}$

Langkah 6.4.2

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$V = \pm \sqrt{C x^{2} - 1}$

Langkah 7

Substitusikan $\frac{y}{x}$ untuk $V$ .

$\frac{y}{x} = \pm \sqrt{C x^{2} - 1}$

Langkah 8

Selesaikan $\frac{y}{x} = \pm \sqrt{C x^{2} - 1}$ untuk $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Kalikan kedua ruas dengan $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\pm \sqrt{C x^{2} - 1}) x$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{x} x = (\pm \sqrt{C x^{2} - 1}) x$

Langkah 8.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = (\pm \sqrt{C x^{2} - 1}) x$