Kalkulus Contoh

$(x^{2} + y^{2}) d x + 4 x y d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = x^{2} + y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

Langkah 1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 1.3

Karena $x^{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x^{2}$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y$

Langkah 1.5

Tambahkan $0$ dan $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = 4 x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [4 x y]$

Langkah 2.2

Karena $4 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x y$ terhadap $x$ adalah $4 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 y \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 y \cdot 1$

Langkah 2.4

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 y$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $2 y$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $4 y$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y = 4 y$

Langkah 3.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$2 y = 4 y$ bukan identitas.

Langkah 4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $2 y$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Langkah 4.2

Substitusikan $4 y$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 y - (4 y)}{N}$

Langkah 4.3

Substitusikan $4 x y$ untuk $N$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $4 x y$ untuk $N$ .

$\frac{2 y - (4 y)}{4 x y}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Faktorkan $y$ dari $2 y - 1 \cdot 4 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Faktorkan $y$ dari $2 y$ .

$\frac{y \cdot 2 - 1 \cdot 4 y}{4 x y}$

Langkah 4.3.2.1.2

Faktorkan $y$ dari $- 1 \cdot 4 y$ .

$\frac{y \cdot 2 + y (- 1 \cdot 4)}{4 x y}$

Langkah 4.3.2.1.3

Faktorkan $y$ dari $y \cdot 2 + y (- 1 \cdot 4)$ .

$\frac{y (2 - 1 \cdot 4)}{4 x y}$

Langkah 4.3.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$\frac{y (2 - 4)}{4 x y}$

Langkah 4.3.2.3

Kurangi $4$ dengan $2$ .

$\frac{y \cdot - 2}{4 x y}$

Langkah 4.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y \cdot - 2}{4 x y}$

Langkah 4.3.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 2}{4 x}$

Langkah 4.3.4

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{4 x}$

Langkah 4.3.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $4 x$ .

$\frac{2 (- 1)}{2 (2 x)}$

Langkah 4.3.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (2 x)}$

Langkah 4.3.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 1}{2 x}$

Langkah 4.3.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{2 x}$

Langkah 4.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{2 x} d x}$

Langkah 5

Evaluasi integral $e^{\int - \frac{1}{2 x} d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{2 x} d x}$

Langkah 5.2

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x)}$

Langkah 5.3

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C)}$

Langkah 5.4

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{2} \ln (| x |)} + C$

Langkah 5.5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Kalikan $- \frac{1}{2} \ln (| x |)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1.1

Susun kembali $\ln (| x |)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- (\frac{1}{2} \ln (| x |))} + C$

Langkah 5.5.1.2

Sederhanakan $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ dengan memindahkan $\frac{1}{2}$ ke dalam logaritma.

$μ (x, y) = e^{- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})} + C$

Langkah 5.5.2

Sederhanakan $- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ dengan memindahkan $- 1$ ke dalam logaritma.

$μ (x, y) = e^{\ln ({({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{- 1})} + C$

Langkah 5.5.3

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$μ (x, y) = {({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} + C$

Langkah 5.5.4

Kalikan eksponen dalam ${({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} + C$

Langkah 5.5.4.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{- 1}{2}} + C$

Langkah 5.5.4.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$μ (x, y) = {| x |}^{- \frac{1}{2}} + C$

Langkah 5.5.5

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{\frac{1}{2}}} + C$

Langkah 6

Kalikan kedua sisi $(x^{2} + y^{2}) d x + 4 x y d y = 0$ dengan faktor integral $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $x^{2} + y^{2}$ dengan $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$(x^{2} + y^{2}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + 4 x y d y = 0$

Langkah 6.2

Kalikan $x^{2} + y^{2}$ dengan $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + 4 x y d y = 0$

Langkah 6.3

Kalikan $4 x y$ dengan $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + 4 x y \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d y = 0$

Langkah 6.4

Kalikan $4 x y \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + x y \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} d y = 0$

Langkah 6.4.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + y \frac{x \cdot 4}{x^{\frac{1}{2}}} d y = 0$

Langkah 6.4.3

Gabungkan $y$ dan $\frac{x \cdot 4}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \frac{y (x \cdot 4)}{x^{\frac{1}{2}}} d y = 0$

Langkah 6.5

Pindahkan $x^{\frac{1}{2}}$ ke pembilang menggunakan aturan eksponen negatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + y (x \cdot 4) x^{- \frac{1}{2}} d y = 0$

Langkah 6.6

Kalikan $x$ dengan $x^{- \frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.1

Pindahkan $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + y (x^{- \frac{1}{2}} x \cdot 4) d y = 0$

Langkah 6.6.2

Kalikan $x^{- \frac{1}{2}}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + y (x^{- \frac{1}{2}} x^{1} \cdot 4) d y = 0$

Langkah 6.6.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + y (x^{- \frac{1}{2} + 1} \cdot 4) d y = 0$

Langkah 6.6.3

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + y (x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \cdot 4) d y = 0$

Langkah 6.6.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + y (x^{\frac{- 1 + 2}{2}} \cdot 4) d y = 0$

Langkah 6.6.5

Tambahkan $- 1$ dan $2$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + y (x^{\frac{1}{2}} \cdot 4) d y = 0$

Langkah 6.7

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + 4 y x^{\frac{1}{2}} d y = 0$

Langkah 7

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 4 y x^{\frac{1}{2}} d y$

Langkah 8

Integralkan $N (x, y) = 4 y x^{\frac{1}{2}}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Karena $4 x^{\frac{1}{2}}$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $4 x^{\frac{1}{2}}$ keluar dari integral.

$f (x, y) = 4 x^{\frac{1}{2}} \int y d y$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 4 x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Langkah 8.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Tulis kembali $4 x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ sebagai $4 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = 4 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} y^{2} + C$

Langkah 8.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x^{\frac{1}{2}} \frac{4}{2} y^{2} + C$

Langkah 8.3.2.2

Gabungkan $x^{\frac{1}{2}}$ dan $\frac{4}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 4}{2} y^{2} + C$

Langkah 8.3.2.3

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{4 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{2} y^{2} + C$

Langkah 8.3.2.4

Kalikan $4$ dengan $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{4 x^{\frac{1}{2}}}{2} y^{2} + C$

Langkah 8.3.2.5

Faktorkan $2$ dari $4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}})}{2} y^{2} + C$

Langkah 8.3.2.6

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.6.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$f (x, y) = \frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} y^{2} + C$

Langkah 8.3.2.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (x, y) = \frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

Langkah 8.3.2.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (x, y) = \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{1} y^{2} + C$

Langkah 8.3.2.6.4

Bagilah $2 x^{\frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$f (x, y) = 2 x^{\frac{1}{2}} y^{2} + C$

Langkah 9

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = 2 x^{\frac{1}{2}} y^{2} + g (x)$

Langkah 10

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 11

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}} y^{2} + g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 11.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x^{\frac{1}{2}} y^{2} + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 11.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}} y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Karena $2 y^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x^{\frac{1}{2}} y^{2}$ terhadap $x$ adalah $2 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 11.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 11.3.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 11.3.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 11.3.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 11.3.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 11.3.6.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 11.3.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 11.3.8

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 y^{2} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 11.3.9

Gabungkan $2$ dan $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$y^{2} \frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 11.3.10

Gabungkan $y^{2}$ dan $\frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{y^{2} (2 x^{- \frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 11.3.11

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y^{2}$ .

$\frac{2 \cdot y^{2} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 11.3.12

Pindahkan $x^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 y^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 11.3.13

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 11.3.14

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 11.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 11.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 12

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Sederhanakan $\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.1

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.1.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2} - (x^{2} + y^{2})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Langkah 12.1.1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2} - x^{2} - y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Langkah 12.1.1.1.3

Gabungkan suku balikan dalam $y^{2} - x^{2} - y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.1.3.1

Kurangi $y^{2}$ dengan $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{2} + 0}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Langkah 12.1.1.1.3.2

Tambahkan $- x^{2}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Langkah 12.1.1.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.2.1

Pindahkan $x^{\frac{1}{2}}$ ke pembilang menggunakan aturan eksponen negatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{2} x^{- \frac{1}{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.2.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x^{- \frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.2.2.1

Pindahkan $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{d g}{d x} - (x^{- \frac{1}{2}} x^{2}) = 0$

Langkah 12.1.1.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{d g}{d x} - x^{- \frac{1}{2} + 2} = 0$

Langkah 12.1.1.2.2.3

Untuk menuliskan $2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.2.2.4

Gabungkan $2$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.2.2.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d g}{d x} - x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.2.2.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.2.2.6.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{\frac{- 1 + 4}{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.2.2.6.2

Tambahkan $- 1$ dan $4$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{\frac{3}{2}} = 0$

Langkah 12.1.2

Tambahkan $x^{\frac{3}{2}}$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d g}{d x} = x^{\frac{3}{2}}$

Langkah 13

Temukan $x^{\frac{3}{2}}$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = x^{\frac{3}{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Langkah 13.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Langkah 13.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{\frac{3}{2}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$g (x) = \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Langkah 14

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = 2 x^{\frac{1}{2}} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = 2 x^{\frac{1}{2}} y^{2} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Langkah 15

Sederhanakan $f (x, y) = 2 x^{\frac{1}{2}} y^{2} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Gabungkan $\frac{2}{5}$ dan $x^{\frac{5}{2}}$ .

$f (x, y) = 2 x^{\frac{1}{2}} y^{2} + \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Langkah 15.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $f (x, y) = 2 x^{\frac{1}{2}} y^{2} + \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$ .

$f (x, y) = 2 y^{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$