Kalkulus Contoh

$2 x^{3} \frac{d y}{d x} = y (y^{2} + 3 x^{2})$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai fungsi dari $\frac{y}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Bagi setiap suku pada $2 x^{3} \frac{d y}{d x} = y (y^{2} + 3 x^{2})$ dengan $2 x^{3}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Bagilah setiap suku di $2 x^{3} \frac{d y}{d x} = y (y^{2} + 3 x^{2})$ dengan $2 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{3} \frac{d y}{d x}}{2 x^{3}} = \frac{y (y^{2} + 3 x^{2})}{2 x^{3}}$

Langkah 1.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x^{3} \frac{d y}{d x}}{2 x^{3}} = \frac{y (y^{2} + 3 x^{2})}{2 x^{3}}$

Langkah 1.1.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x^{3} \frac{d y}{d x}}{x^{3}} = \frac{y (y^{2} + 3 x^{2})}{2 x^{3}}$

Langkah 1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{3} \frac{d y}{d x}}{x^{3}} = \frac{y (y^{2} + 3 x^{2})}{2 x^{3}}$

Langkah 1.1.2.2.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (y^{2} + 3 x^{2})}{2 x^{3}}$

Langkah 1.2

Faktorkan $\frac{y}{x}$ dari $\frac{y (y^{2} + 3 x^{2})}{2 x^{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan $\frac{y}{x}$ dari $\frac{y (y^{2} + 3 x^{2})}{2 x^{3}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \cdot \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{2 x^{2}}$

Langkah 1.2.2

Susun kembali $\frac{y}{x}$ dan $\frac{y^{2} + 3 x^{2}}{2 x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{2 x^{2}} \cdot \frac{y}{x}$

Langkah 1.3

Pisahkan $\frac{y^{2} + 3 x^{2}}{2 x^{2}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Pisahkan pecahan $\frac{y^{2} + 3 x^{2}}{2 x^{2}}$ menjadi dua pecahan.

$\frac{d y}{d x} = (\frac{y^{2}}{2 x^{2}} + \frac{3 x^{2}}{2 x^{2}}) \frac{y}{x}$

Langkah 1.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = (\frac{y^{2}}{2 x^{2}} + \frac{3 x^{2}}{2 x^{2}}) \frac{y}{x}$

Langkah 1.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} = (\frac{y^{2}}{2 x^{2}} + \frac{3}{2}) \frac{y}{x}$

Langkah 1.4

Faktorkan $\frac{y}{x}$ dari $\frac{y^{2}}{2 x^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Faktorkan $\frac{y}{x}$ dari $\frac{y^{2}}{2 x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = (\frac{y}{x} \cdot \frac{y}{2 x} + \frac{3}{2}) \frac{y}{x}$

Langkah 1.4.2

Susun kembali $\frac{y}{x}$ dan $\frac{y}{2 x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (\frac{y}{2 x} \cdot \frac{y}{x} + \frac{3}{2}) \frac{y}{x}$

Langkah 1.5

Faktorkan $\frac{y}{x}$ dari $\frac{y}{2 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Faktorkan $\frac{y}{x}$ dari $\frac{y}{2 x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (\frac{y}{x} \cdot \frac{1}{2} \frac{y}{x} + \frac{3}{2}) \frac{y}{x}$

Langkah 1.5.2

Susun kembali $\frac{y}{x}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = (\frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} \frac{y}{x} + \frac{3}{2}) \frac{y}{x}$

Langkah 2

Biarkan $V = \frac{y}{x}$ . Substitusikan $V$ ke $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (\frac{1}{2} V \cdot V + \frac{3}{2}) V$

Langkah 3

Selesaikan $V = \frac{y}{x}$ untuk $y$ .

$y = V x$

Langkah 4

Gunakan kaidah hasil kali untuk mencari turunan dari $y = V x$ terhadap $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Langkah 5

Substitusikan $x \frac{d V}{d x} + V$ untuk $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = (\frac{1}{2} V \cdot V + \frac{3}{2}) V$

Langkah 6

Selesaikan persamaan diferensial tersubstitusi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Selesaikan $\frac{d V}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1

Sederhanakan $(\frac{1}{2} \cdot (V \cdot V) + \frac{3}{2}) V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1.1

Tulis kembali.

$x \frac{d V}{d x} + V = 0 + 0 + (\frac{1}{2} \cdot (V \cdot V) + \frac{3}{2}) V$

Langkah 6.1.1.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$x \frac{d V}{d x} + V = (\frac{1}{2} \cdot (V \cdot V) + \frac{3}{2}) V$

Langkah 6.1.1.1.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1.3.1

Kalikan $V$ dengan $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = (\frac{1}{2} \cdot V^{2} + \frac{3}{2}) V$

Langkah 6.1.1.1.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $V^{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = (\frac{V^{2}}{2} + \frac{3}{2}) V$

Langkah 6.1.1.1.4

Terapkan sifat distributif.

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{2}}{2} V + \frac{3}{2} V$

Langkah 6.1.1.1.5

Kalikan $\frac{V^{2}}{2} V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1.5.1

Gabungkan $\frac{V^{2}}{2}$ dan $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{2} V}{2} + \frac{3}{2} V$

Langkah 6.1.1.1.5.2

Kalikan $V^{2}$ dengan $V$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1.5.2.1

Kalikan $V^{2}$ dengan $V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1.5.2.1.1

Naikkan $V$ menjadi pangkat $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{2} V^{1}}{2} + \frac{3}{2} V$

Langkah 6.1.1.1.5.2.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{2 + 1}}{2} + \frac{3}{2} V$

Langkah 6.1.1.1.5.2.2

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{3}}{2} + \frac{3}{2} V$

Langkah 6.1.1.1.6

Gabungkan $\frac{3}{2}$ dan $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{3}}{2} + \frac{3 V}{2}$

Langkah 6.1.1.2

Kurangkan $V$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{2} + \frac{3 V}{2} - V$

Langkah 6.1.1.3

Bagi setiap suku pada $x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{2} + \frac{3 V}{2} - V$ dengan $x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.1

Bagilah setiap suku di $x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{2} + \frac{3 V}{2} - V$ dengan $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V^{3}}{2}}{x} + \frac{\frac{3 V}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Langkah 6.1.1.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V^{3}}{2}}{x} + \frac{\frac{3 V}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Langkah 6.1.1.3.2.1.2

Bagilah $\frac{d V}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3}}{2}}{x} + \frac{\frac{3 V}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Langkah 6.1.1.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3}}{2} + \frac{3 V}{2} - V}{x}$

Langkah 6.1.1.3.3.2

Untuk menuliskan $- V$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3}}{2} + \frac{3 V}{2} - V \cdot \frac{2}{2}}{x}$

Langkah 6.1.1.3.3.3

Gabungkan $- V$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3}}{2} + \frac{3 V}{2} + \frac{- V \cdot 2}{2}}{x}$

Langkah 6.1.1.3.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3}}{2} + \frac{3 V - V \cdot 2}{2}}{x}$

Langkah 6.1.1.3.3.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3} + 3 V - V \cdot 2}{2}}{x}$

Langkah 6.1.1.3.3.6

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3} + 3 V - 2 V}{2}}{x}$

Langkah 6.1.1.3.3.7

Kurangi $2 V$ dengan $3 V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3} + V}{2}}{x}$

Langkah 6.1.1.3.3.8

Faktorkan $V$ dari $V^{3} + V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.3.8.1

Faktorkan $V$ dari $V^{3}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot V^{2} + V}{2}}{x}$

Langkah 6.1.1.3.3.8.2

Naikkan $V$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot V^{2} + V^{1}}{2}}{x}$

Langkah 6.1.1.3.3.8.3

Faktorkan $V$ dari $V^{1}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot V^{2} + V \cdot 1}{2}}{x}$

Langkah 6.1.1.3.3.8.4

Faktorkan $V$ dari $V \cdot V^{2} + V \cdot 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (V^{2} + 1)}{2}}{x}$

Langkah 6.1.1.3.3.9

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (V^{2} + 1)}{2} \cdot \frac{1}{x}$

Langkah 6.1.1.3.3.10

Gabungkan.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (V^{2} + 1) \cdot 1}{2 x}$

Langkah 6.1.1.3.3.11

Kalikan $V$ dengan $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (V^{2} + 1)}{2 x}$

Langkah 6.1.2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{V (V^{2} + 1)}$ .

$\frac{1}{V (V^{2} + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V (V^{2} + 1)} \cdot \frac{V (V^{2} + 1)}{2 x}$

Langkah 6.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.1

Gabungkan.

$\frac{1}{V (V^{2} + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 (V (V^{2} + 1))}{V (V^{2} + 1) (2 x)}$

Langkah 6.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{V (V^{2} + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 (V (V^{2} + 1))}{V (V^{2} + 1) (2 x)}$

Langkah 6.1.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{V (V^{2} + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 (V^{2} + 1)}{(V^{2} + 1) (2 x)}$

Langkah 6.1.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $V^{2} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{V (V^{2} + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 (V^{2} + 1)}{(V^{2} + 1) (2 x)}$

Langkah 6.1.3.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{V (V^{2} + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 x}$

Langkah 6.1.4

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{V (V^{2} + 1)} d V = \frac{1}{2 x} d x$

Langkah 6.2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{V (V^{2} + 1)} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

Langkah 6.2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Tulis pecahan menggunakan penguraian pecahan parsial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1

Uraikan pecahan dan kalikan dengan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1.1

Untuk setiap faktor pada penyebut, buat pecahan baru menggunakan faktor sebagai penyebutnya, dan nilai yang tidak diketahui sebagai pembilangnya. Karena faktornya adalah urutan ke-2, $2$ suku diperlukan pada pembilangnya. Jumlah suku yang diperlukan pada pembilang selalu sama dengan urutan faktor pada penyebutnya.

$\frac{A}{V} + \frac{B V + C}{V^{2} + 1}$

Langkah 6.2.2.1.1.2

Kalikan setiap pecahan dalam persamaan dengan penyebut dari pernyataan awalnya. Dalam hal ini, penyebutnya adalah $V (V^{2} + 1)$ .

$\frac{1 (V (V^{2} + 1))}{V (V^{2} + 1)} = \frac{A (V (V^{2} + 1))}{V} + \frac{(B V + C) (V (V^{2} + 1))}{V^{2} + 1}$

Langkah 6.2.2.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 (V (V^{2} + 1))}{V (V^{2} + 1)} = \frac{A (V (V^{2} + 1))}{V} + \frac{(B V + C) (V (V^{2} + 1))}{V^{2} + 1}$

Langkah 6.2.2.1.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1 (V^{2} + 1)}{V^{2} + 1} = \frac{A (V (V^{2} + 1))}{V} + \frac{(B V + C) (V (V^{2} + 1))}{V^{2} + 1}$

Langkah 6.2.2.1.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $V^{2} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 (V^{2} + 1)}{V^{2} + 1} = \frac{A (V (V^{2} + 1))}{V} + \frac{(B V + C) (V (V^{2} + 1))}{V^{2} + 1}$

Langkah 6.2.2.1.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 = \frac{A (V (V^{2} + 1))}{V} + \frac{(B V + C) (V (V^{2} + 1))}{V^{2} + 1}$

Langkah 6.2.2.1.1.5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1.5.1

Batalkan faktor persekutuan dari $V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1.5.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$1 = \frac{A (V (V^{2} + 1))}{V} + \frac{(B V + C) (V (V^{2} + 1))}{V^{2} + 1}$

Langkah 6.2.2.1.1.5.1.2

Bagilah $A (V^{2} + 1)$ dengan $1$ .

$1 = A (V^{2} + 1) + \frac{(B V + C) (V (V^{2} + 1))}{V^{2} + 1}$

Langkah 6.2.2.1.1.5.2

Terapkan sifat distributif.

$1 = A V^{2} + A \cdot 1 + \frac{(B V + C) (V (V^{2} + 1))}{V^{2} + 1}$

Langkah 6.2.2.1.1.5.3

Kalikan $A$ dengan $1$ .

$1 = A V^{2} + A + \frac{(B V + C) (V (V^{2} + 1))}{V^{2} + 1}$

Langkah 6.2.2.1.1.5.4

Batalkan faktor persekutuan dari $V^{2} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1.5.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$1 = A V^{2} + A + \frac{(B V + C) (V (V^{2} + 1))}{V^{2} + 1}$

Langkah 6.2.2.1.1.5.4.2

Bagilah $(B V + C) (V)$ dengan $1$ .

$1 = A V^{2} + A + (B V + C) (V)$

Langkah 6.2.2.1.1.5.5

Terapkan sifat distributif.

$1 = A V^{2} + A + B V \cdot V + C V$

Langkah 6.2.2.1.1.5.6

Kalikan $V$ dengan $V$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1.5.6.1

Pindahkan $V$ .

$1 = A V^{2} + A + B (V \cdot V) + C V$

Langkah 6.2.2.1.1.5.6.2

Kalikan $V$ dengan $V$ .

$1 = A V^{2} + A + B V^{2} + C V$

Langkah 6.2.2.1.1.6

Pindahkan $A$ .

$1 = A V^{2} + B V^{2} + C V + A$

Langkah 6.2.2.1.2

Buatlah persamaan untuk variabel pecahan parsial dan gunakan untuk membuat sistem persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.2.1

Buat persamaan dari variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien $V^{2}$ dari masing-masing sisi persamaan. Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$0 = A + B$

Langkah 6.2.2.1.2.2

Buat persamaan dari variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien $V$ dari masing-masing sisi persamaan. Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$0 = C$

Langkah 6.2.2.1.2.3

Buat persamaan untuk variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien suku yang tidak memuat $V$ . Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$1 = A$

Langkah 6.2.2.1.2.4

Buat sistem persamaan untuk menentukan koefisien dari pecahan parsialnya.

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

Langkah 6.2.2.1.3

Selesaikan sistem persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $C = 0$ .

$C = 0$

$0 = A + B$

$1 = A$

Langkah 6.2.2.1.3.2

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $A = 1$ .

$A = 1$

$C = 0$

$0 = A + B$

Langkah 6.2.2.1.3.3

Substitusikan semua kemunculan $A$ dengan $1$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.3.3.1

Substitusikan semua kemunculan $A$ dalam $0 = A + B$ dengan $1$ .

$0 = (1) + B$

$A = 1$

$C = 0$

Langkah 6.2.2.1.3.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.3.3.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

Langkah 6.2.2.1.3.4

Selesaikan $B$ dalam $0 = 1 + B$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.3.4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $1 + B = 0$ .

$1 + B = 0$

$A = 1$

$C = 0$

Langkah 6.2.2.1.3.4.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 0$

Langkah 6.2.2.1.3.5

Selesaikan sistem persamaan tersebut.

$B = - 1 A = 1 C = 0$

Langkah 6.2.2.1.3.6

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$B = - 1, A = 1, C = 0$

Langkah 6.2.2.1.4

Ganti masing-masing koefisien pecahan parsial dalam $\frac{A}{V} + \frac{B V + C}{V^{2} + 1}$ dengan nilai-nilai yang didapat dari $A$ , $B$ , dan $C$ .

$\frac{1}{V} + \frac{- 1 V + 0}{V^{2} + 1}$

Langkah 6.2.2.1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.5.1

Hilangkan tanda kurung.

$\frac{1}{V} + \frac{(- 1) \cdot V + 0}{V^{2} + 1}$

Langkah 6.2.2.1.5.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.5.2.1

Tulis kembali $- 1 V$ sebagai $- V$ .

$\frac{1}{V} + \frac{- V + 0}{V^{2} + 1}$

Langkah 6.2.2.1.5.2.2

Tambahkan $- V$ dan $0$ .

$\frac{1}{V} + \frac{- V}{V^{2} + 1}$

Langkah 6.2.2.1.5.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\int \frac{1}{V} - \frac{V}{V^{2} + 1} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

Langkah 6.2.2.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int \frac{1}{V} d V + \int - \frac{V}{V^{2} + 1} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

Langkah 6.2.2.3

Integral dari $\frac{1}{V}$ terhadap $V$ adalah $\ln (| V |)$ .

$\ln (| V |) + C_{1} + \int - \frac{V}{V^{2} + 1} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

Langkah 6.2.2.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $V$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\ln (| V |) + C_{1} - \int \frac{V}{V^{2} + 1} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

Langkah 6.2.2.5

Biarkan $u = V^{2} + 1$ . Kemudian $d u = 2 V d V$ sehingga $\frac{1}{2} d u = V d V$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.5.1

Biarkan $u = V^{2} + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d V}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.5.1.1

Diferensialkan $V^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d V} [V^{2} + 1]$

Langkah 6.2.2.5.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $V^{2} + 1$ terhadap $V$ adalah $\frac{d}{d V} [V^{2}] + \frac{d}{d V} [1]$ .

$\frac{d}{d V} [V^{2}] + \frac{d}{d V} [1]$

Langkah 6.2.2.5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ adalah $n V^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 V + \frac{d}{d V} [1]$

Langkah 6.2.2.5.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $V$ , turunan dari $1$ terhadap $V$ adalah $0$ .

$2 V + 0$

Langkah 6.2.2.5.1.5

Tambahkan $2 V$ dan $0$ .

$2 V$

Langkah 6.2.2.5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\ln (| V |) + C_{1} - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{2 x} d x$

Langkah 6.2.2.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.6.1

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| V |) + C_{1} - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{2 x} d x$

Langkah 6.2.2.6.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u$ .

$\ln (| V |) + C_{1} - \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{2 x} d x$

Langkah 6.2.2.7

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\ln (| V |) + C_{1} - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{2 x} d x$

Langkah 6.2.2.8

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\ln (| V |) + C_{1} - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2}) = \int \frac{1}{2 x} d x$

Langkah 6.2.2.9

Sederhanakan.

$\ln (| V |) - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{3} = \int \frac{1}{2 x} d x$

Langkah 6.2.2.10

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $V^{2} + 1$ .

$\ln (| V |) - \frac{1}{2} \ln (| V^{2} + 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{2 x} d x$

Langkah 6.2.2.11

Susun kembali suku-suku.

$- \frac{1}{2} \ln (| V^{2} + 1 |) + \ln (| V |) + C_{3} = \int \frac{1}{2 x} d x$

Langkah 6.2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$- \frac{1}{2} \ln (| V^{2} + 1 |) + \ln (| V |) + C_{3} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.3.2

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| V^{2} + 1 |) + \ln (| V |) + C_{3} = \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C_{4})$

Langkah 6.2.3.3

Sederhanakan.

$- \frac{1}{2} \ln (| V^{2} + 1 |) + \ln (| V |) + C_{3} = \frac{1}{2} \ln (| x |) + C_{4}$

Langkah 6.2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| V^{2} + 1 |) + \ln (| V |) = \frac{1}{2} \ln (| x |) + C$

Langkah 7

Substitusikan $\frac{y}{x}$ untuk $V$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |) + \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{1}{2} \ln (| x |) + C$

Langkah 8

Selesaikan $- \frac{1}{2} \ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |) + \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{1}{2} \ln (| x |) + C$ untuk $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Sederhanakan pernyataan dalam persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1.1

Gabungkan $\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |)}{2} + \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{1}{2} \ln (| x |) + C$

Langkah 8.1.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.2.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\ln (| x |)$ .

$- \frac{\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |)}{2} + \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{\ln (| x |)}{2} + C$

Langkah 8.2

Kalikan setiap suku pada $- \frac{\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |)}{2} + \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{\ln (| x |)}{2} + C$ dengan $2$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Kalikan setiap suku dalam $- \frac{\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |)}{2} + \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{\ln (| x |)}{2} + C$ dengan $2$ .

$- \frac{\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |)}{2} \cdot 2 + \ln (| \frac{y}{x} |) \cdot 2 = \frac{\ln (| x |)}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Langkah 8.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |)}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- \ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |)}{2} \cdot 2 + \ln (| \frac{y}{x} |) \cdot 2 = \frac{\ln (| x |)}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Langkah 8.2.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- \ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |)}{2} \cdot 2 + \ln (| \frac{y}{x} |) \cdot 2 = \frac{\ln (| x |)}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Langkah 8.2.2.1.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |) + \ln (| \frac{y}{x} |) \cdot 2 = \frac{\ln (| x |)}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Langkah 8.2.2.1.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\ln (| \frac{y}{x} |)$ .

$- \ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |) + 2 \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{\ln (| x |)}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Langkah 8.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |) + 2 \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{\ln (| x |)}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Langkah 8.2.3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- \ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |) + 2 \ln (| \frac{y}{x} |) = \ln (| x |) + C \cdot 2$

Langkah 8.2.3.1.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $C$ .

$- \ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |) + 2 \ln (| \frac{y}{x} |) = \ln (| x |) + 2 C$

Langkah 8.3

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$- \ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |) + 2 \ln (| \frac{y}{x} |) - \ln (| x |) = 2 C$

Langkah 8.4

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{y}{x}$ .

$- \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) + 2 \ln (| \frac{y}{x} |) - \ln (| x |) = 2 C$

Langkah 8.5

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.1

Sederhanakan $- \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) + 2 \ln (| \frac{y}{x} |) - \ln (| x |)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.1.1.1

Sederhanakan $2 \ln (| \frac{y}{x} |)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$- \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) + \ln ({| \frac{y}{x} |}^{2}) - \ln (| x |) = 2 C$

Langkah 8.5.1.1.2

Hapus nilai mutlak dalam ${| \frac{y}{x} |}^{2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$- \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) + \ln ({(\frac{y}{x})}^{2}) - \ln (| x |) = 2 C$

Langkah 8.5.1.1.3

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{y}{x}$ .

$- \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) + \ln (\frac{y^{2}}{x^{2}}) - \ln (| x |) = 2 C$

Langkah 8.5.1.2

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) + \ln (\frac{\frac{y^{2}}{x^{2}}}{| x |}) = 2 C$

Langkah 8.5.1.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.1.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$- \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) + \ln (\frac{y^{2}}{x^{2}} \cdot \frac{1}{| x |}) = 2 C$

Langkah 8.5.1.3.2

Gabungkan.

$- \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) + \ln (\frac{y^{2} \cdot 1}{x^{2} | x |}) = 2 C$

Langkah 8.5.1.3.3

Kalikan $y^{2}$ dengan $1$ .

$- \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) + \ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |}) = 2 C$

Langkah 8.6

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |})} = e^{2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)}$

Langkah 8.7

Tulis kembali $\ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |}) = 2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)} = \frac{y^{2}}{x^{2} | x |}$

Langkah 8.8

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.8.1

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)}) = \ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |})$

Langkah 8.8.2

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.8.2.1

Perluas $\ln (e^{2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)})$ dengan memindahkan $2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)$ ke luar logaritma.

$(2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)) \ln (e) = \ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |})$

Langkah 8.8.2.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$(2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)) \cdot 1 = \ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |})$

Langkah 8.8.2.3

Kalikan $2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)$ dengan $1$ .

$2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) = \ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |})$

Langkah 8.8.3

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) - \ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |}) = - 2 C$

Langkah 8.8.4

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |}{\frac{y^{2}}{x^{2} | x |}}) = - 2 C$

Langkah 8.8.5

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 | (\frac{x^{2} | x |}{y^{2}})) = - 2 C$

Langkah 8.8.6

Kalikan $| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 | \frac{x^{2} | x |}{y^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.8.6.1

Gabungkan $| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |$ dan $\frac{x^{2} | x |}{y^{2}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 | (x^{2} | x |)}{y^{2}}) = - 2 C$

Langkah 8.8.6.2

Untuk mengalikan nilai-nilai mutlak, kalikan suku-suku di dalam masing-masing nilai mutlaknya.

$\ln (\frac{x^{2} | (\frac{y^{2}}{x^{2}} + 1) x |}{y^{2}}) = - 2 C$

Langkah 8.8.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.8.7.1

Terapkan sifat distributif.

$\ln (\frac{x^{2} | \frac{y^{2}}{x^{2}} \cdot x + 1 x |}{y^{2}}) = - 2 C$

Langkah 8.8.7.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.8.7.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$\ln (\frac{x^{2} | \frac{y^{2}}{x \cdot x} \cdot x + 1 x |}{y^{2}}) = - 2 C$

Langkah 8.8.7.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (\frac{x^{2} | \frac{y^{2}}{x \cdot x} \cdot x + 1 x |}{y^{2}}) = - 2 C$

Langkah 8.8.7.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (\frac{x^{2} | \frac{y^{2}}{x} + 1 x |}{y^{2}}) = - 2 C$

Langkah 8.8.7.3

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\ln (\frac{x^{2} | \frac{y^{2}}{x} + x |}{y^{2}}) = - 2 C$

Langkah 8.8.8

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.8.8.1

Perluas $\ln (e^{2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)})$ dengan memindahkan $2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)$ ke luar logaritma.

$(2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)) \ln (e) = \ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |})$

Langkah 8.8.8.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$(2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)) \cdot 1 = \ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |})$

Langkah 8.8.8.3

Kalikan $2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)$ dengan $1$ .

$2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) = \ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |})$