Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} + y = x y^{2}$

Langkah 1

Untuk menyelesaikan persamaan diferensial, biarkan $v = y^{1 - n}$ di mana $n$ adalah eksponen dari $y^{2}$ .

$v = y^{- 1}$

Langkah 2

Selesaikan persamaan untuk $y$ .

$y = v^{- 1}$

Langkah 3

Ambil turunan dari $y$ terhadap $x$ .

$y' = v^{- 1}$

Langkah 4

Ambil turunan dari $v^{- 1}$ terhadap $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Ambil turunan dari $v^{- 1}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

Langkah 4.2

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

Langkah 4.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = 1$ dan $g (x) = v$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Langkah 4.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Langkah 4.4.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Langkah 4.4.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.3.1

Kalikan $v$ dengan $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Langkah 4.4.3.2

Kurangi $\frac{d}{d x} [v]$ dengan $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Langkah 4.4.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Langkah 4.5

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [v]$ sebagai $v'$ .

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

Langkah 5

Substitusikan $- \frac{v'}{v^{2}}$ dengan $\frac{d y}{d x}$ dan $v^{- 1}$ dengan $y$ dalam persamaan asli $\frac{d y}{d x} + y = x y^{2}$ .

$- \frac{v'}{v^{2}} + v^{- 1} = x {(v^{- 1})}^{2}$

Langkah 6

Selesaikan persamaan diferensial tersubstitusi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan setiap suku pada $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + v^{- 1} = x {(v^{- 1})}^{2}$ dengan $- v^{2}$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Kalikan setiap suku dalam $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + v^{- 1} = x {(v^{- 1})}^{2}$ dengan $- v^{2}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) + v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Langkah 6.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $v^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.1.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) + v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Langkah 6.1.2.1.1.2

Faktorkan $v^{2}$ dari $- v^{2}$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) + v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Langkah 6.1.2.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) + v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Langkah 6.1.2.1.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Langkah 6.1.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Langkah 6.1.2.1.3

Kalikan $\frac{d v}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d v}{d x} + v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Langkah 6.1.2.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{d v}{d x} - v^{- 1} v^{2} = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Langkah 6.1.2.1.5

Kalikan $v^{- 1}$ dengan $v^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.1.5.1

Pindahkan $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - (v^{2} v^{- 1}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Langkah 6.1.2.1.5.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{d v}{d x} - v^{2 - 1} = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Langkah 6.1.2.1.5.3

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$\frac{d v}{d x} - v^{1} = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Langkah 6.1.2.1.6

Sederhanakan $- v^{1}$ .

$\frac{d v}{d x} - v = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Langkah 6.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{d v}{d x} - v = - x {(v^{- 1})}^{2} v^{2}$

Langkah 6.1.3.2

Kalikan eksponen dalam ${(v^{- 1})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} - v = - x v^{- 1 \cdot 2} v^{2}$

Langkah 6.1.3.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{d v}{d x} - v = - x v^{- 2} v^{2}$

Langkah 6.1.3.3

Kalikan $v^{- 2}$ dengan $v^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.3.1

Pindahkan $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - v = - x (v^{2} v^{- 2})$

Langkah 6.1.3.3.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{d v}{d x} - v = - x v^{2 - 2}$

Langkah 6.1.3.3.3

Kurangi $2$ dengan $2$ .

$\frac{d v}{d x} - v = - x v^{0}$

Langkah 6.1.3.4

Sederhanakan $- x v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} - v = - x$

Langkah 6.2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Buat integralnya.

$e^{\int - 1 d x}$

Langkah 6.2.2

Terapkan aturan konstanta.

$e^{- x + C}$

Langkah 6.2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{- x}$

Langkah 6.3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $e^{- x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Kalikan setiap suku dengan $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d v}{d x} + e^{- x} (- v) = e^{- x} (- x)$

Langkah 6.3.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = e^{- x} (- x)$

Langkah 6.3.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = - e^{- x} x$

Langkah 6.3.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = - e^{- x} x$ .

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - v e^{- x} = - x e^{- x}$

Langkah 6.4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} v] = - x e^{- x}$

Langkah 6.5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} v] d x = \int - x e^{- x} d x$

Langkah 6.6

Integralkan sisi kiri.

$e^{- x} v = \int - x e^{- x} d x$

Langkah 6.7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- x} v = - \int x e^{- x} d x$

Langkah 6.7.2

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} v = - (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

Langkah 6.7.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- x} v = - (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

Langkah 6.7.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$e^{- x} v = - (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

Langkah 6.7.4.2

Kalikan $\int e^{- x} d x$ dengan $1$ .

$e^{- x} v = - (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

Langkah 6.7.5

Biarkan $u = - x$ . Kemudian $d u = - d x$ sehingga $- d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.5.1

Biarkan $u = - x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.5.1.1

Diferensialkan $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 6.7.5.1.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 6.7.5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Langkah 6.7.5.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 6.7.5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$e^{- x} v = - (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

Langkah 6.7.6

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- x} v = - (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

Langkah 6.7.7

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$e^{- x} v = - (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$

Langkah 6.7.8

Tulis kembali $- (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$ sebagai $- (- x e^{- x} - e^{u}) + C$ .

$e^{- x} v = - (- x e^{- x} - e^{u}) + C$

Langkah 6.7.9

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- x$ .

$e^{- x} v = - (- x e^{- x} - e^{- x}) + C$

Langkah 6.7.10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.10.1

Terapkan sifat distributif.

$e^{- x} v = - (- x e^{- x}) - - e^{- x} + C$

Langkah 6.7.10.2

Kalikan $- (- x e^{- x})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.10.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$e^{- x} v = 1 (x e^{- x}) - - e^{- x} + C$

Langkah 6.7.10.2.2

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$e^{- x} v = x e^{- x} - - e^{- x} + C$

Langkah 6.7.10.3

Kalikan $- - e^{- x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.10.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$e^{- x} v = x e^{- x} + 1 e^{- x} + C$

Langkah 6.7.10.3.2

Kalikan $e^{- x}$ dengan $1$ .

$e^{- x} v = x e^{- x} + e^{- x} + C$

Langkah 6.8

Bagi setiap suku pada $e^{- x} v = x e^{- x} + e^{- x} + C$ dengan $e^{- x}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.1

Bagilah setiap suku di $e^{- x} v = x e^{- x} + e^{- x} + C$ dengan $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} v}{e^{- x}} = \frac{x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Langkah 6.8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{- x} v}{e^{- x}} = \frac{x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Langkah 6.8.2.1.2

Bagilah $v$ dengan $1$ .

$v = \frac{x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Langkah 6.8.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$v = \frac{x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Langkah 6.8.3.1.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$v = x + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Langkah 6.8.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$v = x + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Langkah 6.8.3.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$v = x + 1 + \frac{C}{e^{- x}}$

Langkah 7

Substitusikan $y^{- 1}$ untuk $v$ .

$y^{- 1} = x + 1 + \frac{C}{e^{- x}}$