Kalkulus Contoh

$d x + (\frac{x}{y} - \sin (y)) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 1.2

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = \frac{x}{y} - \sin (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{x}{y} - \sin (y)]$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{x}{y} - \sin (y)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [- \sin (y)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [- \sin (y)]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $\frac{1}{y}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x}{y}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (y)]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (y)]$

Langkah 2.3.3

Kalikan $\frac{1}{y}$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y} + \frac{d}{d x} [- \sin (y)]$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $- \sin (y)$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \sin (y)$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y} + 0$

Langkah 2.4.2

Tambahkan $\frac{1}{y}$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y}$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $0$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $\frac{1}{y}$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$0 = \frac{1}{y}$

Langkah 3.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$0 = \frac{1}{y}$ bukan identitas.

Langkah 4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $\frac{1}{y}$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{\frac{1}{y} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Langkah 4.2

Substitusikan $0$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{\frac{1}{y} + 0}{M}$

Langkah 4.3

Substitusikan $1$ untuk $M$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $1$ untuk $M$ .

$\frac{\frac{1}{y} + 0}{1}$

Langkah 4.3.2

Bagilah $\frac{1}{y} + 0$ dengan $1$ .

$\frac{1}{y} + 0$

Langkah 4.3.3

Substitusikan $1$ untuk $M$ .

$\frac{1}{y}$

Langkah 4.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{y} d y}$

Langkah 5

Evaluasi integral $e^{\int \frac{1}{y} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |) + C}$

Langkah 5.2

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |)} + C$

Langkah 5.2.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$μ (x, y) = | y | + C$

Langkah 6

Kalikan $1$ dengan $y$ .

$d x + (\frac{x}{y} - \sin (y)) d y = 0$

Langkah 7

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y d x$

Langkah 8

Integralkan $M (x, y) = y$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = y x + C$

Langkah 9

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = y x + g (y)$

Langkah 10

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x - y \sin (y)$

Langkah 11

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [y x + g (y)] = x - y \sin (y)$

Langkah 11.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y x + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x - y \sin (y)$

Langkah 11.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [y x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $y x$ terhadap $y$ adalah $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x - y \sin (y)$

Langkah 11.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = x - y \sin (y)$

Langkah 11.3.3

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$x + \frac{d}{d y} [g (y)] = x - y \sin (y)$

Langkah 11.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$x + \frac{d g}{d y} = x - y \sin (y)$

Langkah 11.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d y} + x = x - y \sin (y)$

Langkah 12

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d y}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Kurangkan $x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} = x - y \sin (y) - x$

Langkah 12.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $x - y \sin (y) - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.2.1

Kurangi $x$ dengan $x$ .

$\frac{d g}{d y} = - y \sin (y) + 0$

Langkah 12.1.2.2

Tambahkan $- y \sin (y)$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - y \sin (y)$

Langkah 13

Temukan $- y \sin (y)$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = - y \sin (y)$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y \sin (y) d y$

Langkah 13.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - y \sin (y) d y$

Langkah 13.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$g (y) = - \int y \sin (y) d y$

Langkah 13.4

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = y$ dan $d v = \sin (y)$ .

$g (y) = - (y (- \cos (y)) - \int - \cos (y) d y)$

Langkah 13.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$g (y) = - (y (- \cos (y)) - - \int \cos (y) d y)$

Langkah 13.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$g (y) = - (y (- \cos (y)) + 1 \int \cos (y) d y)$

Langkah 13.6.2

Kalikan $\int \cos (y) d y$ dengan $1$ .

$g (y) = - (y (- \cos (y)) + \int \cos (y) d y)$

Langkah 13.7

Integral dari $\cos (y)$ terhadap $y$ adalah $\sin (y)$ .

$g (y) = - (y (- \cos (y)) + \sin (y) + C)$

Langkah 13.8

Tulis kembali $- (y (- \cos (y)) + \sin (y) + C)$ sebagai $- (- y \cos (y) + \sin (y)) + C$ .

$g (y) = - (- y \cos (y) + \sin (y)) + C$

Langkah 14

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = y x + g (y)$ .

$f (x, y) = y x - (- y \cos (y) + \sin (y)) + C$

Langkah 15

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Terapkan sifat distributif.

$f (x, y) = y x - (- y \cos (y)) - \sin (y) + C$

Langkah 15.2

Kalikan $- (- y \cos (y))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f (x, y) = y x + 1 (y \cos (y)) - \sin (y) + C$

Langkah 15.2.2

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$f (x, y) = y x + y \cos (y) - \sin (y) + C$