Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{e^{x}}{x^{3}}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Faktorkan $y$ dari $\frac{3 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{3}{x} = \frac{e^{x}}{x^{3}}$

Langkah 1.2

Susun kembali $y$ dan $\frac{3}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y = \frac{e^{x}}{x^{3}}$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = \frac{3}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int \frac{3}{x} d x}$

Langkah 2.2

Integralkan $\frac{3}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$e^{3 \int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 2.2.2

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$e^{3 (\ln (| x |) + C)}$

Langkah 2.2.3

Sederhanakan.

$e^{3 \ln (| x |) + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{3 \ln (x)}$

Langkah 2.4

Gunakan kaidah pangkat logaritma.

$e^{\ln (x^{3})}$

Langkah 2.5

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$x^{3}$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} (\frac{3}{x} y) = x^{3} \frac{e^{x}}{x^{3}}$

Langkah 3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Gabungkan $\frac{3}{x}$ dan $y$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{3 y}{x} = x^{3} \frac{e^{x}}{x^{3}}$

Langkah 3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} \frac{e^{x}}{x^{3}}$

Langkah 3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} \frac{e^{x}}{x^{3}}$

Langkah 3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{2} (3 y) = x^{3} \frac{e^{x}}{x^{3}}$

Langkah 3.2.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{3} \frac{e^{x}}{x^{3}}$

Langkah 3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{3} \frac{e^{x}}{x^{3}}$

Langkah 3.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = e^{x}$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [x^{3} y] = e^{x}$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [x^{3} y] d x = \int e^{x} d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$x^{3} y = \int e^{x} d x$

Langkah 7

Integral dari $e^{x}$ terhadap $x$ adalah $e^{x}$ .

$x^{3} y = e^{x} + C$

Langkah 8

Bagi setiap suku pada $x^{3} y = e^{x} + C$ dengan $x^{3}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagilah setiap suku di $x^{3} y = e^{x} + C$ dengan $x^{3}$ .

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{e^{x}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{e^{x}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Langkah 8.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{e^{x}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$