Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \cos (x) \cos^{2} (y)$ , $y (0) = \frac{π}{4}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos (x) \cos^{2} (y))$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $\cos^{2} (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan $\cos^{2} (y)$ dari $\cos (x) \cos^{2} (y)$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos^{2} (y) \cos (x))$

Langkah 1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos^{2} (y) \cos (x))$

Langkah 1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = \cos (x) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = \int \cos (x) d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Konversikan dari $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ ke $\sec^{2} (y)$ .

$\int \sec^{2} (y) d y = \int \cos (x) d x$

Langkah 2.2.2

Karena turunan dari $\tan (y)$ adalah $\sec^{2} (y)$ , maka integral dari $\sec^{2} (y)$ adalah $\tan (y)$ .

$\tan (y) + C_{1} = \int \cos (x) d x$

Langkah 2.3

Integral dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $\sin (x)$ .

$\tan (y) + C_{1} = \sin (x) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$\tan (y) = \sin (x) + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\sin (x) + K = \tan (y)$ .

$\sin (x) + K = \tan (y)$

Langkah 3.2

Kurangkan $K$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\sin (x) = \tan (y) - K$

Langkah 3.3

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $y$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (\tan (y) - K)$

Langkah 3.4

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\arcsin (\tan (y) - K) = x$ .

$\arcsin (\tan (y) - K) = x$

Langkah 3.5

Ambil balikan arcsinus dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $\tan (y)$ dari dalam arcsinus.

$\tan (y) - K = \sin (x)$

Langkah 3.6

Tambahkan $K$ ke kedua sisi persamaan.

$\tan (y) = \sin (x) + K$

Langkah 3.7

Ambil tangen balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $y$ dari dalam tangen.

$y = \arctan (\sin (x) + K)$

Langkah 3.8

Karena $y$ ada di sisi kanan persamaan, tukar sisinya sehingga berada di sisi kiri persamaan.

$\arcsin (\tan (y) - K) = x$

Langkah 3.9

Ambil balikan arcsinus dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $\tan (y)$ dari dalam arcsinus.

$\tan (y) - K = \sin (x)$

Langkah 3.10

Tambahkan $K$ ke kedua sisi persamaan.

$\tan (y) = \sin (x) + K$

Langkah 3.11

Ambil tangen balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $y$ dari dalam tangen.

$y = \arctan (\sin (x) + K)$

Langkah 4

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $K$ dengan mensubstitusikan $0$ untuk $x$ dan $\frac{π}{4}$ untuk $y$ padda $y = \arctan (\sin (x) + K)$ .

$\frac{π}{4} = \arctan (\sin (0) + K)$

Langkah 5

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\arctan (\sin (0) + K) = \frac{π}{4}$ .

$\arctan (\sin (0) + K) = \frac{π}{4}$

Langkah 5.2

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $K$ dari dalam sinus.

$\sin (0) + K = \arcsin (\frac{π}{4})$

Langkah 5.3

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Sederhanakan $\sin (0) + K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.1

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$0 + K = \arcsin (\frac{π}{4})$

Langkah 5.3.1.2

Tambahkan $0$ dan $K$ .

$K = \arcsin (\frac{π}{4})$

Langkah 5.4

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Evaluasi $\arcsin (\frac{π}{4})$ .

$K = 0.90333911$

Langkah 5.5

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$K = (3.14159265) - 0.90333911$

Langkah 5.6

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Hilangkan tanda kurung.

$K = 3.14159265 - 0.90333911$

Langkah 5.6.2

Hilangkan tanda kurung.

$K = (3.14159265) - 0.90333911$

Langkah 5.6.3

Kurangi $0.90333911$ dengan $3.14159265$ .

$K = 2.23825354$

Langkah 5.7

Meniadakan penyelesaian yang tidak membuat $\frac{π}{4} = \arctan (\sin (0) + K)$ benar.

$Tidak ada penyelesaian$