Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 y^{2}}{x^{3}}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (- \frac{4 y^{2}}{x^{3}})$

Langkah 1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{4 y^{2}}{x^{3}}$

Langkah 1.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{y^{2}}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y^{2}} \cdot \frac{4 y^{2}}{x^{3}}$

Langkah 1.2.2.2

Faktorkan $y^{2}$ dari $4 y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} \cdot 4}{x^{3}}$

Langkah 1.2.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} \cdot 4}{x^{3}}$

Langkah 1.2.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{4}{x^{3}}$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y^{2}} d y = - \frac{4}{x^{3}} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int - \frac{4}{x^{3}} d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Pindahkan $y^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int - \frac{4}{x^{3}} d x$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int - \frac{4}{x^{3}} d x$

Langkah 2.2.1.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int - \frac{4}{x^{3}} d x$

Langkah 2.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{- 2}$ terhadap $y$ adalah $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int - \frac{4}{x^{3}} d x$

Langkah 2.2.3

Tulis kembali $- y^{- 1} + C_{1}$ sebagai $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - \frac{4}{x^{3}} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int \frac{4}{x^{3}} d x$

Langkah 2.3.2

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (4 \int \frac{1}{x^{3}} d x)$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Langkah 2.3.3.2

Pindahkan $x^{3}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Langkah 2.3.3.3

Kalikan eksponen dalam ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Langkah 2.3.3.3.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 \int x^{- 3} d x$

Langkah 2.3.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- 3}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{2})$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1.1

Gabungkan $x^{- 2}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C_{2})$

Langkah 2.3.5.1.2

Pindahkan $x^{- 2}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2})$

Langkah 2.3.5.2

Sederhanakan.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C_{2}$

Langkah 2.3.5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 4$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 4 \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}$

Langkah 2.3.5.3.2

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{4}{2 x^{2}} + C_{2}$

Langkah 2.3.5.3.3

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.3.3.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 x^{2}} + C_{2}$

Langkah 2.3.5.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.3.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 x^{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 (x^{2})} + C_{2}$

Langkah 2.3.5.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 x^{2}} + C_{2}$

Langkah 2.3.5.3.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2}{x^{2}} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$- \frac{1}{y} = \frac{2}{x^{2}} + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$y, x^{2}, 1$

Langkah 3.1.2

Karena $y, x^{2}, 1$ memiliki bilangan dan variabel, ada dua langkah untuk menemukan KPK. Temukan KPK untuk bagian numerik $1, 1, 1$ kemudian temukan KPK untuk bagian variabel $y^{1}, x^{2}$ .

Langkah 3.1.3

KPK-nya adalah bilangan positif terkecil yang semua bilangannya dibagi secara merata.

1. Sebutkan faktor prima dari masing-masing bilangan.

2. Kalikan masing-masing faktor dengan jumlah terbesar dari kedua bilangan tersebut.

Langkah 3.1.4

Bilangan $1$ bukan bilangan prima karena bilangan tersebut hanya memiliki satu faktor positif, yaitu bilangan itu sendiri.

Bukan bilangan prima

Langkah 3.1.5

KPK dari $1, 1, 1$ adalah hasil perkalian semua faktor prima yang paling banyak muncul pada kedua bilangan tersebut.

$1$

Langkah 3.1.6

Faktor untuk $y^{1}$ adalah $y$ itu sendiri.

$y^{1} = y$

$y$ terjadi $1$ kali.

Langkah 3.1.7

Faktor-faktor untuk $x^{2}$ adalah $x \cdot x$ , yaitu $x$ dikalikan satu sama lain $2$ kali.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ terjadi $2$ kali.

Langkah 3.1.8

KPK dari $y^{1}, x^{2}$ adalah hasil dari mengalikan semua faktor prima dengan frekuensi terbanyak yang muncul pada kedua pernyataan tersebut.

$y \cdot x \cdot x$

Langkah 3.1.9

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.9.1

Pindahkan $x$ .

$y \cdot (x \cdot x)$

Langkah 3.1.9.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$y \cdot x^{2}$

$y x^{2}$

Langkah 3.2

Kalikan setiap suku pada $- \frac{1}{y} = \frac{2}{x^{2}} + K$ dengan $y x^{2}$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Kalikan setiap suku dalam $- \frac{1}{y} = \frac{2}{x^{2}} + K$ dengan $y x^{2}$ .

$- \frac{1}{y} (y x^{2}) = \frac{2}{x^{2}} (y x^{2}) + K (y x^{2})$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{y}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 1}{y} (y x^{2}) = \frac{2}{x^{2}} (y x^{2}) + K (y x^{2})$

Langkah 3.2.2.1.2

Faktorkan $y$ dari $y x^{2}$ .

$\frac{- 1}{y} (y (x^{2})) = \frac{2}{x^{2}} (y x^{2}) + K (y x^{2})$

Langkah 3.2.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1}{y} (y x^{2}) = \frac{2}{x^{2}} (y x^{2}) + K (y x^{2})$

Langkah 3.2.2.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- x^{2} = \frac{2}{x^{2}} (y x^{2}) + K (y x^{2})$

Langkah 3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $y x^{2}$ .

$- x^{2} = \frac{2}{x^{2}} (x^{2} y) + K (y x^{2})$

Langkah 3.2.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- x^{2} = \frac{2}{x^{2}} (x^{2} y) + K (y x^{2})$

Langkah 3.2.3.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- x^{2} = 2 y + K (y x^{2})$

$- x^{2} = 2 y + K y x^{2}$

Langkah 3.3

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $2 y + K y x^{2} = - x^{2}$ .

$2 y + K y x^{2} = - x^{2}$

Langkah 3.3.2

Faktorkan $y$ dari $2 y + K y x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Faktorkan $y$ dari $2 y$ .

$y \cdot 2 + K y x^{2} = - x^{2}$

Langkah 3.3.2.2

Faktorkan $y$ dari $K y x^{2}$ .

$y \cdot 2 + y (K x^{2}) = - x^{2}$

Langkah 3.3.2.3

Faktorkan $y$ dari $y \cdot 2 + y (K x^{2})$ .

$y (2 + K x^{2}) = - x^{2}$

Langkah 3.3.3

Bagi setiap suku pada $y (2 + K x^{2}) = - x^{2}$ dengan $2 + K x^{2}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Bagilah setiap suku di $y (2 + K x^{2}) = - x^{2}$ dengan $2 + K x^{2}$ .

$\frac{y (2 + K x^{2})}{2 + K x^{2}} = \frac{- x^{2}}{2 + K x^{2}}$

Langkah 3.3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2 + K x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y (2 + K x^{2})}{2 + K x^{2}} = \frac{- x^{2}}{2 + K x^{2}}$

Langkah 3.3.3.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{- x^{2}}{2 + K x^{2}}$

Langkah 3.3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - \frac{x^{2}}{2 + K x^{2}}$