Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{5 y}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 x^{2}}{5 y}$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan $y$ dari $5 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 x^{2}}{y \cdot 5}$

Langkah 1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 x^{2}}{y \cdot 5}$

Langkah 1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{5}$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$y d y = \frac{3 x^{2}}{5} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int y d y = \int \frac{3 x^{2}}{5} d x$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{3 x^{2}}{5} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $\frac{3}{5}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{3}{5}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{5} \int x^{2} d x$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{5} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Tulis kembali $\frac{3}{5} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ sebagai $\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.1

Kalikan $\frac{3}{5}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{5 \cdot 3} x^{3} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2.2

Kalikan $5$ dengan $3$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{15} x^{3} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2.3

Hapus faktor persekutuan dari $3$ dan $15$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.3.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 (1)}{15} x^{3} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.3.2.1

Faktorkan $3$ dari $15$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 5} x^{3} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 5} x^{3} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{5} x^{3} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{5} x^{3} + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{5} x^{3} + K)$

Langkah 3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{5} x^{3} + K)$

Langkah 3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{5} x^{3} + K)$

Langkah 3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{5} x^{3} + K)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{5} x^{3} + K)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan $x^{3}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{3}}{5} + K)$

Langkah 3.2.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y^{2} = 2 \frac{x^{3}}{5} + 2 K$

Langkah 3.2.2.1.3

Gabungkan $2$ dan $\frac{x^{3}}{5}$ .

$y^{2} = \frac{2 x^{3}}{5} + 2 K$

Langkah 3.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{3}}{5} + 2 K}$

Langkah 3.4

Sederhanakan $\pm \sqrt{\frac{2 x^{3}}{5} + 2 K}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Faktorkan $2$ dari $\frac{2 x^{3}}{5} + 2 K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1

Faktorkan $2$ dari $\frac{2 x^{3}}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x^{3}}{5} + 2 K}$

Langkah 3.4.1.2

Faktorkan $2$ dari $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x^{3}}{5} + 2 K}$

Langkah 3.4.1.3

Faktorkan $2$ dari $2 \frac{x^{3}}{5} + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x^{3}}{5} + K)}$

Langkah 3.4.2

Untuk menuliskan $K$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{5}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x^{3}}{5} + K \cdot \frac{5}{5})}$

Langkah 3.4.3

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1

Gabungkan $K$ dan $\frac{5}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x^{3}}{5} + \frac{K \cdot 5}{5})}$

Langkah 3.4.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x^{3} + K \cdot 5}{5}}$

Langkah 3.4.4

Pindahkan $5$ ke sebelah kiri $K$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x^{3} + 5 K}{5}}$

Langkah 3.4.5

Gabungkan $2$ dan $\frac{x^{3} + 5 K}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (x^{3} + 5 K)}{5}}$

Langkah 3.4.6

Tulis kembali $\sqrt{\frac{2 (x^{3} + 5 K)}{5}}$ sebagai $\frac{\sqrt{2 (x^{3} + 5 K)}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 5 K)}}{\sqrt{5}}$

Langkah 3.4.7

Kalikan $\frac{\sqrt{2 (x^{3} + 5 K)}}{\sqrt{5}}$ dengan $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 5 K)}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Langkah 3.4.8

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.8.1

Kalikan $\frac{\sqrt{2 (x^{3} + 5 K)}}{\sqrt{5}}$ dengan $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 5 K)} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Langkah 3.4.8.2

Naikkan $\sqrt{5}$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 5 K)} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Langkah 3.4.8.3

Naikkan $\sqrt{5}$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 5 K)} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Langkah 3.4.8.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 5 K)} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Langkah 3.4.8.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 5 K)} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Langkah 3.4.8.6

Tulis kembali ${\sqrt{5}}^{2}$ sebagai $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.8.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{5}$ sebagai $5^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 5 K)} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 3.4.8.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 5 K)} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 3.4.8.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 5 K)} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 3.4.8.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.8.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 5 K)} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 3.4.8.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 5 K)} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Langkah 3.4.8.6.5

Evaluasi eksponennya.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 5 K)} \sqrt{5}}{5}$

Langkah 3.4.9

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.9.1

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 5 K) \cdot 5}}{5}$

Langkah 3.4.9.2

Kalikan $5$ dengan $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{10 (x^{3} + 5 K)}}{5}$

Langkah 3.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \frac{\sqrt{10 (x^{3} + 5 K)}}{5}$

Langkah 3.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \frac{\sqrt{10 (x^{3} + 5 K)}}{5}$

Langkah 3.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \frac{\sqrt{10 (x^{3} + 5 K)}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{10 (x^{3} + 5 K)}}{5}$

$y = \frac{\sqrt{10 (x^{3} + 5 K)}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{10 (x^{3} + 5 K)}}{5}$

$y = \frac{\sqrt{10 (x^{3} + 5 K)}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{10 (x^{3} + 5 K)}}{5}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \frac{\sqrt{10 (x^{3} + K)}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{10 (x^{3} + K)}}{5}$