Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{2 - 2 y}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $2 - 2 y$ .

$(2 - 2 y) \frac{d y}{d x} = (2 - 2 y) \frac{x^{2} + 1}{2 - 2 y}$

Langkah 1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 - 2 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$(2 - 2 y) \frac{d y}{d x} = (2 - 2 y) \frac{x^{2} + 1}{2 (1) - 2 y}$

Langkah 1.2.1.2

Faktorkan $2$ dari $- 2 y$ .

$(2 - 2 y) \frac{d y}{d x} = (2 - 2 y) \frac{x^{2} + 1}{2 (1) + 2 (- y)}$

Langkah 1.2.1.3

Faktorkan $2$ dari $2 (1) + 2 (- y)$ .

$(2 - 2 y) \frac{d y}{d x} = (2 - 2 y) \frac{x^{2} + 1}{2 (1 - y)}$

Langkah 1.2.2

Kalikan $2 - 2 y$ dengan $\frac{x^{2} + 1}{2 (1 - y)}$ .

$(2 - 2 y) \frac{d y}{d x} = \frac{(2 - 2 y) (x^{2} + 1)}{2 (1 - y)}$

Langkah 1.2.3

Hapus faktor persekutuan dari $2 - 2 y$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Faktorkan $2$ dari $(2 - 2 y) (x^{2} + 1)$ .

$(2 - 2 y) \frac{d y}{d x} = \frac{2 ((1 - y) (x^{2} + 1))}{2 (1 - y)}$

Langkah 1.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$(2 - 2 y) \frac{d y}{d x} = \frac{2 ((1 - y) (x^{2} + 1))}{2 (1 - y)}$

Langkah 1.2.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$(2 - 2 y) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) (x^{2} + 1)}{1 - y}$

Langkah 1.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $1 - y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$(2 - 2 y) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) (x^{2} + 1)}{1 - y}$

Langkah 1.2.4.2

Bagilah $x^{2} + 1$ dengan $1$ .

$(2 - 2 y) \frac{d y}{d x} = x^{2} + 1$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$(2 - 2 y) d y = (x^{2} + 1) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int 2 - 2 y d y = \int x^{2} + 1 d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int 2 d y + \int - 2 y d y = \int x^{2} + 1 d x$

Langkah 2.2.2

Terapkan aturan konstanta.

$2 y + C_{1} + \int - 2 y d y = \int x^{2} + 1 d x$

Langkah 2.2.3

Karena $- 2$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 2$ keluar dari integral.

$2 y + C_{1} - 2 \int y d y = \int x^{2} + 1 d x$

Langkah 2.2.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 y + C_{1} - 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{2}) = \int x^{2} + 1 d x$

Langkah 2.2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.1

Sederhanakan.

$2 y - 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{3} = \int x^{2} + 1 d x$

Langkah 2.2.5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.2.1

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$2 y + \frac{- 2}{2} y^{2} + C_{3} = \int x^{2} + 1 d x$

Langkah 2.2.5.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$2 y + \frac{2 \cdot - 1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x^{2} + 1 d x$

Langkah 2.2.5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.2.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$2 y + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} y^{2} + C_{3} = \int x^{2} + 1 d x$

Langkah 2.2.5.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 y + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} y^{2} + C_{3} = \int x^{2} + 1 d x$

Langkah 2.2.5.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$2 y + \frac{- 1}{1} y^{2} + C_{3} = \int x^{2} + 1 d x$

Langkah 2.2.5.2.2.2.4

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$2 y - y^{2} + C_{3} = \int x^{2} + 1 d x$

Langkah 2.2.6

Susun kembali suku-suku.

$- y^{2} + 2 y + C_{3} = \int x^{2} + 1 d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$- y^{2} + 2 y + C_{3} = \int x^{2} d x + \int d x$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- y^{2} + 2 y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \int d x$

Langkah 2.3.3

Terapkan aturan konstanta.

$- y^{2} + 2 y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + x + C_{5}$

Langkah 2.3.4

Sederhanakan.

$- y^{2} + 2 y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + x + C_{6}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$- y^{2} + 2 y = \frac{1}{3} x^{3} + x + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$- y^{2} + 2 y = \frac{x^{3}}{3} + x + K$

Langkah 3.2

Pindahkan semua pernyataan ke sisi kiri dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Kurangkan $\frac{x^{3}}{3}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- y^{2} + 2 y - \frac{x^{3}}{3} = x + K$

Langkah 3.2.2

Kurangkan $x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- y^{2} + 2 y - \frac{x^{3}}{3} - x = K$

Langkah 3.2.3

Kurangkan $K$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- y^{2} + 2 y - \frac{x^{3}}{3} - x - K = 0$

Langkah 3.3

Kalikan dengan penyebut sekutu terkecil $3$ , kemudian sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Terapkan sifat distributif.

$3 (- y^{2}) + 3 (2 y) + 3 (- \frac{x^{3}}{3}) + 3 (- x) + 3 (- K) = 0$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$- 3 y^{2} + 3 (2 y) + 3 (- \frac{x^{3}}{3}) + 3 (- x) + 3 (- K) = 0$

Langkah 3.3.2.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$- 3 y^{2} + 6 y + 3 (- \frac{x^{3}}{3}) + 3 (- x) + 3 (- K) = 0$

Langkah 3.3.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{x^{3}}{3}$ ke dalam pembilangnya.

$- 3 y^{2} + 6 y + 3 (\frac{- x^{3}}{3}) + 3 (- x) + 3 (- K) = 0$

Langkah 3.3.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- 3 y^{2} + 6 y + 3 (\frac{- x^{3}}{3}) + 3 (- x) + 3 (- K) = 0$

Langkah 3.3.2.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 3 y^{2} + 6 y - x^{3} + 3 (- x) + 3 (- K) = 0$

Langkah 3.3.2.4

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$- 3 y^{2} + 6 y - x^{3} - 3 x + 3 (- K) = 0$

Langkah 3.3.2.5

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$- 3 y^{2} + 6 y - x^{3} - 3 x - 3 K = 0$

Langkah 3.3.3

Pindahkan $- 3 x$ .

$- 3 y^{2} + 6 y - x^{3} - 3 K - 3 x = 0$

Langkah 3.3.4

Pindahkan $6 y$ .

$- 3 y^{2} - x^{3} - 3 K + 6 y - 3 x = 0$

Langkah 3.3.5

Susun kembali $- 3 y^{2}$ dan $- x^{3}$ .

$- x^{3} - 3 y^{2} - 3 K + 6 y - 3 x = 0$

Langkah 3.4

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 3.5

Substitusikan nilai-nilai $a = - 3$ , $b = 6$ , dan $c = - x^{3} - 3 K - 3 x$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $y$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 3 \cdot (- x^{3} - 3 K - 3 x))}}{2 \cdot - 3}$

Langkah 3.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1.1

Naikkan $6$ menjadi pangkat $2$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 3 \cdot (- x^{3} - 3 K - 3 x)}}{2 \cdot - 3}$

Langkah 3.6.1.2

Kalikan $- 4$ dengan $- 3$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 \cdot (- x^{3} - 3 K - 3 x)}}{2 \cdot - 3}$

Langkah 3.6.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 (- x^{3}) + 12 (- 3 K) + 12 (- 3 x)}}{2 \cdot - 3}$

Langkah 3.6.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $12$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 12 x^{3} + 12 (- 3 K) + 12 (- 3 x)}}{2 \cdot - 3}$

Langkah 3.6.1.4.2

Kalikan $- 3$ dengan $12$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 12 x^{3} - 36 K + 12 (- 3 x)}}{2 \cdot - 3}$

Langkah 3.6.1.4.3

Kalikan $- 3$ dengan $12$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 12 x^{3} - 36 K - 36 x}}{2 \cdot - 3}$

Langkah 3.6.1.5

Faktorkan $12$ dari $36 - 12 x^{3} - 36 K - 36 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1.5.1

Faktorkan $12$ dari $36$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) - 12 x^{3} - 36 K - 36 x}}{2 \cdot - 3}$

Langkah 3.6.1.5.2

Faktorkan $12$ dari $- 12 x^{3}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) + 12 (- x^{3}) - 36 K - 36 x}}{2 \cdot - 3}$

Langkah 3.6.1.5.3

Faktorkan $12$ dari $- 36 K$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) + 12 (- x^{3}) + 12 (- 3 K) - 36 x}}{2 \cdot - 3}$

Langkah 3.6.1.5.4

Faktorkan $12$ dari $- 36 x$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) + 12 (- x^{3}) + 12 (- 3 K) + 12 (- 3 x)}}{2 \cdot - 3}$

Langkah 3.6.1.5.5

Faktorkan $12$ dari $12 (3) + 12 (- x^{3})$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3 - x^{3}) + 12 (- 3 K) + 12 (- 3 x)}}{2 \cdot - 3}$

Langkah 3.6.1.5.6

Faktorkan $12$ dari $12 (3 - x^{3}) + 12 (- 3 K)$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3 - x^{3} - 3 K) + 12 (- 3 x)}}{2 \cdot - 3}$

Langkah 3.6.1.5.7

Faktorkan $12$ dari $12 (3 - x^{3} - 3 K) + 12 (- 3 x)$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x)}}{2 \cdot - 3}$

Langkah 3.6.1.6

Tulis kembali $12 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x)$ sebagai $2^{2} \cdot (3 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1.6.1

Faktorkan $4$ dari $12$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (3) (3 - x^{3} - 3 K - 3 x)}}{2 \cdot - 3}$

Langkah 3.6.1.6.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x))}}{2 \cdot - 3}$

Langkah 3.6.1.6.3

Tambahkan tanda kurung.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x))}}{2 \cdot - 3}$

Langkah 3.6.1.7

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x)}}{2 \cdot - 3}$

Langkah 3.6.2

Kalikan $2$ dengan $- 3$ .

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x)}}{- 6}$

Langkah 3.6.3

Sederhanakan $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x)}}{- 6}$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x)}}{3}$

Langkah 3.7

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x)}}{3}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x)}}{3}$

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x)}}{3}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x)}}{3}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 - x^{3} + K - 3 x)}}{3}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 - x^{3} + K - 3 x)}}{3}$