Kalkulus Contoh

$(y^{2} + x y^{3}) d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = y^{2} + x y^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} + x y^{3}]$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y^{2} + x y^{3}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x y^{3}]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + \frac{d}{d y} [x y^{3}]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [x y^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x y^{3}$ terhadap $y$ adalah $x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + x \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + x (3 y^{2})$

Langkah 1.3.3

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 3 x y^{2}$

Langkah 1.4

Susun kembali suku-suku.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} x + 2 y$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = 5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)]$

Langkah 2.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [y^{3} \sin (y)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [y^{3} \sin (y)]$

Langkah 2.2.2

Karena $5 y^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 y^{2}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [y^{3} \sin (y)]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x y$ terhadap $x$ adalah $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{3} \sin (y)]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{3} \sin (y)]$

Langkah 2.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - y + \frac{d}{d x} [y^{3} \sin (y)]$

Langkah 2.4

Karena $y^{3} \sin (y)$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $y^{3} \sin (y)$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - y + 0$

Langkah 2.5

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Kurangi $y$ dengan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y + 0$

Langkah 2.5.2

Tambahkan $- y$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $3 y^{2} x + 2 y$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $- y$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 y^{2} x + 2 y = - y$

Langkah 3.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$3 y^{2} x + 2 y = - y$ bukan identitas.

Langkah 4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $- y$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Langkah 4.2

Substitusikan $3 y^{2} x + 2 y$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- y - (3 y^{2} x + 2 y)}{M}$

Langkah 4.3

Substitusikan $y^{2} + x y^{3}$ untuk $M$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $y^{2} + x y^{3}$ untuk $M$ .

$\frac{- y - (3 y^{2} x + 2 y)}{y^{2} + x y^{3}}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{- y - (3 y^{2} x) - (2 y)}{y^{2} + x y^{3}}$

Langkah 4.3.2.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\frac{- y - 3 (y^{2} x) - (2 y)}{y^{2} + x y^{3}}$

Langkah 4.3.2.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{- y - 3 (y^{2} x) - 2 y}{y^{2} + x y^{3}}$

Langkah 4.3.2.4

Kurangi $2 y$ dengan $- y$ .

$\frac{- 3 y^{2} x - 3 y}{y^{2} + x y^{3}}$

Langkah 4.3.2.5

Faktorkan $3 y$ dari $- 3 y^{2} x - 3 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.5.1

Faktorkan $3 y$ dari $- 3 y^{2} x$ .

$\frac{3 y (- y x) - 3 y}{y^{2} + x y^{3}}$

Langkah 4.3.2.5.2

Faktorkan $3 y$ dari $- 3 y$ .

$\frac{3 y (- y x) + 3 y (- 1)}{y^{2} + x y^{3}}$

Langkah 4.3.2.5.3

Faktorkan $3 y$ dari $3 y (- y x) + 3 y (- 1)$ .

$\frac{3 y (- y x - 1)}{y^{2} + x y^{3}}$

Langkah 4.3.3

Faktorkan $y^{2}$ dari $y^{2} + x y^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Kalikan dengan $1$ .

$\frac{3 y (- y x - 1)}{y^{2} \cdot 1 + x y^{3}}$

Langkah 4.3.3.2

Faktorkan $y^{2}$ dari $x y^{3}$ .

$\frac{3 y (- y x - 1)}{y^{2} \cdot 1 + y^{2} (x y)}$

Langkah 4.3.3.3

Faktorkan $y^{2}$ dari $y^{2} \cdot 1 + y^{2} (x y)$ .

$\frac{3 y (- y x - 1)}{y^{2} (1 + x y)}$

Langkah 4.3.4

Hapus faktor persekutuan dari $y$ dan $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1

Faktorkan $y$ dari $3 y (- y x - 1)$ .

$\frac{y (3 (- y x - 1))}{y^{2} (1 + x y)}$

Langkah 4.3.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.2.1

Faktorkan $y$ dari $y^{2} (1 + x y)$ .

$\frac{y (3 (- y x - 1))}{y (y (1 + x y))}$

Langkah 4.3.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y (3 (- y x - 1))}{y (y (1 + x y))}$

Langkah 4.3.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3 (- y x - 1)}{y (1 + x y)}$

Langkah 4.3.5

Susun kembali suku-sukunya.

$\frac{3 (- x y - 1)}{y (x y + 1)}$

Langkah 4.3.6

Hapus faktor persekutuan dari $- x y - 1$ dan $x y + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.6.1

Faktorkan $- 1$ dari $- x y$ .

$\frac{3 (- (x y) - 1)}{y (x y + 1)}$

Langkah 4.3.6.2

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$\frac{3 (- (x y) - 1 (1))}{y (x y + 1)}$

Langkah 4.3.6.3

Faktorkan $- 1$ dari $- (x y) - 1 (1)$ .

$\frac{3 (- (x y + 1))}{y (x y + 1)}$

Langkah 4.3.6.4

Tulis kembali $- (x y + 1)$ sebagai $- 1 (x y + 1)$ .

$\frac{3 (- 1 (x y + 1))}{y (x y + 1)}$

Langkah 4.3.6.5

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 (- 1 (x y + 1))}{y (x y + 1)}$

Langkah 4.3.6.6

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3 \cdot (- 1)}{y}$

Langkah 4.3.7

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\frac{- 3}{y}$

Langkah 4.3.8

Substitusikan $y^{2} + x y^{3}$ untuk $M$ .

$- \frac{3}{y}$

Langkah 4.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{y} d y}$

Langkah 5

Evaluasi integral $e^{\int - \frac{3}{y} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{y} d y}$

Langkah 5.2

Karena $3$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{y} d y)}$

Langkah 5.3

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{y} d y}$

Langkah 5.4

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| y |) + C)}$

Langkah 5.5

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| y |)} + C$

Langkah 5.6

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Sederhanakan $- 3 \ln (| y |)$ dengan memindahkan $- 3$ ke dalam logaritma.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 3})} + C$

Langkah 5.6.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 3} + C$

Langkah 5.6.3

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{3}} + C$

Langkah 6

Kalikan kedua sisi $(y^{2} + x y^{3}) d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$ dengan faktor integral $\frac{1}{y^{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $y^{2} + x y^{3}$ dengan $\frac{1}{y^{3}}$ .

$(y^{2} + x y^{3}) \frac{1}{y^{3}} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

Langkah 6.2

Kalikan $y^{2} + x y^{3}$ dengan $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{y^{2} + x y^{3}}{y^{3}} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

Langkah 6.3

Faktorkan $y^{2}$ dari $y^{2} + x y^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Kalikan dengan $1$ .

$\frac{y^{2} \cdot 1 + x y^{3}}{y^{3}} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

Langkah 6.3.2

Faktorkan $y^{2}$ dari $x y^{3}$ .

$\frac{y^{2} \cdot 1 + y^{2} (x y)}{y^{3}} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

Langkah 6.3.3

Faktorkan $y^{2}$ dari $y^{2} \cdot 1 + y^{2} (x y)$ .

$\frac{y^{2} (1 + x y)}{y^{3}} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

Langkah 6.4

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Faktorkan $y^{2}$ dari $y^{3}$ .

$\frac{y^{2} (1 + x y)}{y^{2} y} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

Langkah 6.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y^{2} (1 + x y)}{y^{2} y} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

Langkah 6.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

Langkah 6.5

Kalikan $5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)$ dengan $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

Langkah 6.6

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (5 y^{2} \frac{1}{y^{3}} - x y \frac{1}{y^{3}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Langkah 6.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.1.1

Faktorkan $y^{2}$ dari $5 y^{2}$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x + (y^{2} \cdot 5 \frac{1}{y^{3}} - x y \frac{1}{y^{3}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Langkah 6.7.1.2

Faktorkan $y^{2}$ dari $y^{3}$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x + (y^{2} \cdot 5 \frac{1}{y^{2} y} - x y \frac{1}{y^{3}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Langkah 6.7.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (y^{2} \cdot 5 \frac{1}{y^{2} y} - x y \frac{1}{y^{3}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Langkah 6.7.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (5 \frac{1}{y} - x y \frac{1}{y^{3}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Langkah 6.7.2

Gabungkan $5$ dan $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} - x y \frac{1}{y^{3}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Langkah 6.7.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.3.1

Faktorkan $y$ dari $- x y$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} + y (- x) \frac{1}{y^{3}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Langkah 6.7.3.2

Faktorkan $y$ dari $y^{3}$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} + y (- x) \frac{1}{y \cdot y^{2}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Langkah 6.7.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} + y (- x) \frac{1}{y \cdot y^{2}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Langkah 6.7.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} - x \frac{1}{y^{2}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Langkah 6.7.4

Gabungkan $\frac{1}{y^{2}}$ dan $x$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Langkah 6.7.5

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.5.1

Faktorkan $y^{3}$ dari $y^{3} \sin (y)$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + y^{3} (\sin (y)) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Langkah 6.7.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Langkah 6.7.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)) d y = 0$

Langkah 7

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{1 + x y}{y} d x$

Langkah 8

Integralkan $M (x, y) = \frac{1 + x y}{y}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Pisahkan pecahan menjadi beberapa pecahan.

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} + \frac{x y}{y} d x$

Langkah 8.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} d x + \int \frac{x y}{y} d x$

Langkah 8.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} d x + \int \frac{x y}{y} d x$

Langkah 8.3.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} d x + \int x d x$

Langkah 8.4

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = \frac{1}{y} x + C + \int x d x$

Langkah 8.5

Gabungkan $\frac{1}{y}$ dan $x$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + C + \int x d x$

Langkah 8.6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + C + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 8.7

Sederhanakan.

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 9

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$

Langkah 10

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Langkah 11

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + g (y)] = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Langkah 11.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Langkah 11.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $\frac{x}{y}$ terhadap $y$ adalah $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Langkah 11.3.2

Tulis kembali $\frac{1}{y}$ sebagai $y^{- 1}$ .

$x \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Langkah 11.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$x (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Langkah 11.4

Karena $\frac{1}{2} x^{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $\frac{1}{2} x^{2}$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$x (- y^{- 2}) + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Langkah 11.5

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$x (- y^{- 2}) + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Langkah 11.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.6.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (- \frac{1}{y^{2}}) + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Langkah 11.6.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.6.2.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- \frac{x}{y^{2}} + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Langkah 11.6.2.2

Tambahkan $- \frac{x}{y^{2}}$ dan $0$ .

$- \frac{x}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Langkah 11.6.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Langkah 12

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Pindahkan semua suku yang mengandung variabel ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.1

Kurangkan $\frac{5}{y}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} - \frac{5}{y} = - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Langkah 12.1.1.2

Tambahkan $\frac{x}{y^{2}}$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} - \frac{5}{y} + \frac{x}{y^{2}} = \sin (y)$

Langkah 12.1.1.3

Kurangkan $\sin (y)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} - \frac{5}{y} + \frac{x}{y^{2}} - \sin (y) = 0$

Langkah 12.1.1.4

Gabungkan suku balikan dalam $\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} - \frac{5}{y} + \frac{x}{y^{2}} - \sin (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.4.1

Tambahkan $- \frac{x}{y^{2}}$ dan $\frac{x}{y^{2}}$ .

$\frac{d g}{d y} - \frac{5}{y} + 0 - \sin (y) = 0$

Langkah 12.1.1.4.2

Tambahkan $\frac{d g}{d y} - \frac{5}{y}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} - \frac{5}{y} - \sin (y) = 0$

Langkah 12.1.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d y}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.2.1

Tambahkan $\frac{5}{y}$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d g}{d y} - \sin (y) = \frac{5}{y}$

Langkah 12.1.2.2

Tambahkan $\sin (y)$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d g}{d y} = \frac{5}{y} + \sin (y)$

Langkah 13

Temukan $\frac{5}{y} + \sin (y)$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = \frac{5}{y} + \sin (y)$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{5}{y} + \sin (y) d y$

Langkah 13.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{5}{y} + \sin (y) d y$

Langkah 13.3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$g (y) = \int \frac{5}{y} d y + \int \sin (y) d y$

Langkah 13.4

Karena $5$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $5$ keluar dari integral.

$g (y) = 5 \int \frac{1}{y} d y + \int \sin (y) d y$

Langkah 13.5

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$g (y) = 5 (\ln (| y |) + C) + \int \sin (y) d y$

Langkah 13.6

Integral dari $\sin (y)$ terhadap $y$ adalah $- \cos (y)$ .

$g (y) = 5 (\ln (| y |) + C) - \cos (y) + C$

Langkah 13.7

Sederhanakan.

$g (y) = 5 \ln (| y |) - \cos (y) + C$

Langkah 14

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + 5 \ln (| y |) - \cos (y) + C$

Langkah 15

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{x^{2}}{2} + 5 \ln (| y |) - \cos (y) + C$

Langkah 15.2

Sederhanakan $5 \ln (| y |)$ dengan memindahkan $5$ ke dalam logaritma.

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{x^{2}}{2} + \ln ({| y |}^{5}) - \cos (y) + C$