Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = x^{2} y - x y + 3 y$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Faktorkan $y$ dari $x^{2} y - x y + 3 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Faktorkan $y$ dari $x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = y x^{2} - x y + 3 y$

Langkah 1.1.2

Faktorkan $y$ dari $- x y$ .

$\frac{d y}{d x} = y x^{2} + y (- x) + 3 y$

Langkah 1.1.3

Faktorkan $y$ dari $3 y$ .

$\frac{d y}{d x} = y x^{2} + y (- x) + y \cdot 3$

Langkah 1.1.4

Faktorkan $y$ dari $y x^{2} + y (- x)$ .

$\frac{d y}{d x} = y (x^{2} - x) + y \cdot 3$

Langkah 1.1.5

Faktorkan $y$ dari $y (x^{2} - x) + y \cdot 3$ .

$\frac{d y}{d x} = y (x^{2} - x + 3)$

Langkah 1.2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x^{2} - x + 3))$

Langkah 1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x^{2} - x + 3))$

Langkah 1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x^{2} - x + 3$

Langkah 1.4

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y} d y = (x^{2} - x + 3) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} - x + 3 d x$

Langkah 2.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{2} - x + 3 d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{2} d x + \int - x d x + \int 3 d x$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int - x d x + \int 3 d x$

Langkah 2.3.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - \int x d x + \int 3 d x$

Langkah 2.3.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int 3 d x$

Langkah 2.3.5

Terapkan aturan konstanta.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + 3 x + C_{4}$

Langkah 2.3.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C_{3}) + 3 x + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2

Sederhanakan.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + C_{5}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + C}$

Langkah 3.2

Tulis kembali $\ln (| y |) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + C} = | y |$

Langkah 3.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| y | = e^{\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + C}$ .

$| y | = e^{\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + C}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$| y | = e^{\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + C}$

Langkah 3.3.2.2

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$| y | = e^{\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + 3 x + C}$

Langkah 3.3.3

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + 3 x + C}$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali $e^{\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + 3 x + C}$ sebagai $e^{\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + 3 x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + 3 x} e^{C}$

Langkah 4.2

Susun kembali $e^{\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + 3 x}$ dan $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + 3 x}$

Langkah 4.3

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = C e^{\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + 3 x}$