Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{1 + x^{2}}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Biarkan $u = 1 + x^{2}$ . Kemudian $d u = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Biarkan $u = 1 + x^{2}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.1

Diferensialkan $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Langkah 2.3.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.3.1.1.3

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.3.1.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Langkah 2.3.1.1.5

Tambahkan $0$ dan $2 x$ .

$2 x$

Langkah 2.3.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Langkah 2.3.2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 u} d u$

Langkah 2.3.3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 2.3.4

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Langkah 2.3.6

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $1 + x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$y = \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C$