Kalkulus Contoh

$(y^{2} - x y) d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = y^{2} - x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} - x y]$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y^{2} - x y$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x y]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + \frac{d}{d y} [- x y]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [- x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $- x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- x y$ terhadap $y$ adalah $- x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - x \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - x \cdot 1$

Langkah 1.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - x$

Langkah 1.4

Susun kembali suku-suku.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - x + 2 y$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = x^{2} - x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} - x y]$

Langkah 2.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - x y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [- x y]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x y$ terhadap $x$ adalah $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - y \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - y \cdot 1$

Langkah 2.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - y$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $- x + 2 y$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $2 x - y$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- x + 2 y = 2 x - y$

Langkah 3.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$- x + 2 y = 2 x - y$ bukan identitas.

Langkah 4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $- x + 2 y$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- x + 2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Langkah 4.2

Substitusikan $2 x - y$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- x + 2 y - (2 x - y)}{N}$

Langkah 4.3

Substitusikan $x^{2} - x y$ untuk $N$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $x^{2} - x y$ untuk $N$ .

$\frac{- x + 2 y - (2 x - y)}{x^{2} - x y}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{- x + 2 y - (2 x) - - y}{x^{2} - x y}$

Langkah 4.3.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{- x + 2 y - 2 x - - y}{x^{2} - x y}$

Langkah 4.3.2.3

Kalikan $- - y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{- x + 2 y - 2 x + 1 y}{x^{2} - x y}$

Langkah 4.3.2.3.2

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$\frac{- x + 2 y - 2 x + y}{x^{2} - x y}$

Langkah 4.3.2.4

Kurangi $2 x$ dengan $- x$ .

$\frac{- 3 x + 2 y + y}{x^{2} - x y}$

Langkah 4.3.2.5

Tambahkan $2 y$ dan $y$ .

$\frac{- 3 x + 3 y}{x^{2} - x y}$

Langkah 4.3.2.6

Faktorkan $3$ dari $- 3 x + 3 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.6.1

Faktorkan $3$ dari $- 3 x$ .

$\frac{3 (- x) + 3 y}{x^{2} - x y}$

Langkah 4.3.2.6.2

Faktorkan $3$ dari $3 y$ .

$\frac{3 (- x) + 3 (y)}{x^{2} - x y}$

Langkah 4.3.2.6.3

Faktorkan $3$ dari $3 (- x) + 3 (y)$ .

$\frac{3 (- x + y)}{x^{2} - x y}$

Langkah 4.3.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2} - x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$\frac{3 (- x + y)}{x \cdot x - x y}$

Langkah 4.3.3.1.2

Faktorkan $x$ dari $- x y$ .

$\frac{3 (- x + y)}{x \cdot x + x (- 1 y)}$

Langkah 4.3.3.1.3

Faktorkan $x$ dari $x \cdot x + x (- 1 y)$ .

$\frac{3 (- x + y)}{x (x - 1 y)}$

Langkah 4.3.3.2

Tulis kembali $- 1 y$ sebagai $- y$ .

$\frac{3 (- x + y)}{x (x - y)}$

Langkah 4.3.4

Hapus faktor persekutuan dari $- x + y$ dan $x - y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1

Faktorkan $- 1$ dari $- x$ .

$\frac{3 (- (x) + y)}{x (x - y)}$

Langkah 4.3.4.2

Faktorkan $- 1$ dari $y$ .

$\frac{3 (- (x) - 1 (- y))}{x (x - y)}$

Langkah 4.3.4.3

Faktorkan $- 1$ dari $- (x) - 1 (- y)$ .

$\frac{3 (- (x - y))}{x (x - y)}$

Langkah 4.3.4.4

Tulis kembali $- (x - y)$ sebagai $- 1 (x - y)$ .

$\frac{3 (- 1 (x - y))}{x (x - y)}$

Langkah 4.3.4.5

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 (- 1 (x - y))}{x (x - y)}$

Langkah 4.3.4.6

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3 \cdot (- 1)}{x}$

Langkah 4.3.5

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\frac{- 3}{x}$

Langkah 4.3.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{3}{x}$

Langkah 4.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{x} d x}$

Langkah 5

Evaluasi integral $e^{\int - \frac{3}{x} d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

Langkah 5.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

Langkah 5.3

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 5.4

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

Langkah 5.5

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| x |)} + C$

Langkah 5.6

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Sederhanakan $- 3 \ln (| x |)$ dengan memindahkan $- 3$ ke dalam logaritma.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 3})} + C$

Langkah 5.6.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 3} + C$

Langkah 5.6.3

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{3}} + C$

Langkah 6

Kalikan kedua sisi $(y^{2} - x y) d x + (x^{2} - x y) d y = 0$ dengan faktor integral $\frac{1}{x^{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $y^{2} - x y$ dengan $\frac{1}{x^{3}}$ .

$(y^{2} - x y) \frac{1}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

Langkah 6.2

Kalikan $y^{2} - x y$ dengan $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{y^{2} - x y}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

Langkah 6.3

Faktorkan $y$ dari $y^{2} - x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Faktorkan $y$ dari $y^{2}$ .

$\frac{y \cdot y - x y}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

Langkah 6.3.2

Faktorkan $y$ dari $- x y$ .

$\frac{y \cdot y + y (- x)}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

Langkah 6.3.3

Faktorkan $y$ dari $y \cdot y + y (- x)$ .

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

Langkah 6.4

Kalikan $x^{2} - x y$ dengan $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

Langkah 6.5

Kalikan $x^{2} - x y$ dengan $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x^{2} - x y}{x^{3}} d y = 0$

Langkah 6.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2} - x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.1.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x \cdot x - x y}{x^{3}} d y = 0$

Langkah 6.6.1.2

Faktorkan $x$ dari $- x y$ .

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x \cdot x + x (- 1 y)}{x^{3}} d y = 0$

Langkah 6.6.1.3

Faktorkan $x$ dari $x \cdot x + x (- 1 y)$ .

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x (x - 1 y)}{x^{3}} d y = 0$

Langkah 6.6.2

Tulis kembali $- 1 y$ sebagai $- y$ .

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x (x - y)}{x^{3}} d y = 0$

Langkah 6.7

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.1

Faktorkan $x$ dari $x^{3}$ .

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x (x - y)}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

Langkah 6.7.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x (x - y)}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

Langkah 6.7.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x - y}{x^{2}} d y = 0$

Langkah 7

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x - y}{x^{2}} d y$

Langkah 8

Integralkan $N (x, y) = \frac{x - y}{x^{2}}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Karena $\frac{1}{x^{2}}$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $\frac{1}{x^{2}}$ keluar dari integral.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} \int x - y d y$

Langkah 8.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (\int x d y + \int - y d y)$

Langkah 8.3

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y + C + \int - y d y)$

Langkah 8.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y + C - \int y d y)$

Langkah 8.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y + C - (\frac{1}{2} y^{2} + C))$

Langkah 8.6

Sederhanakan.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{1}{2} y^{2}) + C$

Langkah 9

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{1}{2} y^{2}) + g (x)$

Langkah 10

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Langkah 11

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{1}{2} y^{2}) + g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Langkah 11.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Penjumlahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Gabungkan $y^{2}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2}) + g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Langkah 11.2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2}) + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Langkah 11.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2})]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ dan $g (x) = x y - \frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x y - \frac{y^{2}}{2}] + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Langkah 11.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x y - \frac{y^{2}}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2}]$ .

$\frac{1}{x^{2}} (\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2}]) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Langkah 11.3.3

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $x y$ terhadap $x$ adalah $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2}]) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Langkah 11.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2}]) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Langkah 11.3.5

Karena $- \frac{y^{2}}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{y^{2}}{2}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Langkah 11.3.6

Tulis kembali $\frac{1}{x^{2}}$ sebagai ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Langkah 11.3.7

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.7.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Langkah 11.3.7.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Langkah 11.3.7.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Langkah 11.3.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Langkah 11.3.9

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Langkah 11.3.10

Tambahkan $y$ dan $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Langkah 11.3.11

Gabungkan $\frac{1}{x^{2}}$ dan $y$ .

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Langkah 11.3.12

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.12.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Langkah 11.3.12.2

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Langkah 11.3.13

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Langkah 11.3.14

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Langkah 11.3.15

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Langkah 11.3.16

Kurangi $4$ dengan $1$ .

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Langkah 11.3.17

Untuk menuliskan $(x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 3})$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{y}{x^{2}} + \frac{(x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 3}) x^{2}}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Langkah 11.3.18

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 3}) x^{2}}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Langkah 11.3.19

Kalikan $x^{- 3}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.19.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 (x^{2} x^{- 3}))}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Langkah 11.3.19.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{2 - 3})}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Langkah 11.3.19.3

Kurangi $3$ dengan $2$ .

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 1})}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Langkah 11.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 1})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Langkah 11.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.5.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Langkah 11.5.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{y + x y (- 2 \frac{1}{x}) - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Langkah 11.5.3

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.5.3.1

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y + x y \frac{- 2}{x} - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Langkah 11.5.3.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{y + x y (- \frac{2}{x}) - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Langkah 11.5.3.3

Gabungkan $x$ dan $\frac{2}{x}$ .

$\frac{y + y (- \frac{x \cdot 2}{x}) - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Langkah 11.5.3.4

Gabungkan $y$ dan $\frac{x \cdot 2}{x}$ .

$\frac{y - \frac{y (x \cdot 2)}{x} - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Langkah 11.5.3.5

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$\frac{y - \frac{y (2 \cdot x)}{x} - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Langkah 11.5.3.6

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y$ .

$\frac{y - \frac{2 \cdot y x}{x} - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Langkah 11.5.3.7

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.5.3.7.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y - \frac{2 y x}{x} - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Langkah 11.5.3.7.2

Bagilah $2 y$ dengan $1$ .

$\frac{y - (2 y) - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Langkah 11.5.3.8

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{y - 2 y - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Langkah 11.5.3.9

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y - 2 y - \frac{y^{2}}{2} \cdot \frac{- 2}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Langkah 11.5.3.10

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{y - 2 y - \frac{y^{2}}{2} (- \frac{2}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Langkah 11.5.3.11

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{y - 2 y + 1 \frac{y^{2}}{2} \frac{2}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Langkah 11.5.3.12

Kalikan $\frac{y^{2}}{2}$ dengan $1$ .

$\frac{y - 2 y + \frac{y^{2}}{2} \cdot \frac{2}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Langkah 11.5.3.13

Kalikan $\frac{y^{2}}{2}$ dengan $\frac{2}{x}$ .

$\frac{y - 2 y + \frac{y^{2} \cdot 2}{2 x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Langkah 11.5.3.14

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y^{2}$ .

$\frac{y - 2 y + \frac{2 \cdot y^{2}}{2 x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Langkah 11.5.3.15

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.5.3.15.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y - 2 y + \frac{2 y^{2}}{2 x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Langkah 11.5.3.15.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y - 2 y + \frac{y^{2}}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Langkah 11.5.3.16

Kurangi $2 y$ dengan $y$ .

$\frac{- y + \frac{y^{2}}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Langkah 11.5.3.17

Kalikan $\frac{- y + \frac{y^{2}}{x}}{x^{2}}$ dengan $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{x} \cdot \frac{- y + \frac{y^{2}}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Langkah 11.5.3.18

Gabungkan.

$\frac{x (- y + \frac{y^{2}}{x})}{x \cdot x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Langkah 11.5.3.19

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x (- y) + x \frac{y^{2}}{x}}{x \cdot x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Langkah 11.5.3.20

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.5.3.20.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x (- y) + x \frac{y^{2}}{x}}{x \cdot x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Langkah 11.5.3.20.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x (- y) + y^{2}}{x \cdot x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Langkah 11.5.3.21

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.5.3.21.1

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.5.3.21.1.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{x (- y) + y^{2}}{x^{1} x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Langkah 11.5.3.21.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{x (- y) + y^{2}}{x^{1 + 2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Langkah 11.5.3.21.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{x (- y) + y^{2}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Langkah 11.5.3.22

Untuk menuliskan $\frac{d g}{d x}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ .

$\frac{x (- y) + y^{2}}{x^{3}} + \frac{\frac{d g}{d x} x^{3}}{x^{3}} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Langkah 11.5.3.23

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{x (- y) + y^{2} + \frac{d g}{d x} x^{3}}{x^{3}} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Langkah 11.5.4

Susun kembali suku-suku.

$\frac{y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x}}{x^{3}} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Langkah 12

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Karena pernyataan pada setiap sisi persamaan mempunyai penyebut yang sama, maka pembilangnya harus sama.

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y (y - x)$

Langkah 12.1.2

Sederhanakan $y (y - x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.2.1

Tulis kembali.

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = 0 + 0 + y (y - x)$

Langkah 12.1.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y (y - x)$

Langkah 12.1.2.3

Terapkan sifat distributif.

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y \cdot y + y (- x)$

Langkah 12.1.2.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.2.4.1

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y^{2} + y (- x)$

Langkah 12.1.2.4.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y^{2} - y x$

Langkah 12.1.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.3.1

Kurangkan $y^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y^{2} - y x - y^{2}$

Langkah 12.1.3.2

Tambahkan $x y$ ke kedua sisi persamaan.

$x^{3} \frac{d g}{d x} = y^{2} - y x - y^{2} + x y$

Langkah 12.1.3.3

Gabungkan suku balikan dalam $y^{2} - y x - y^{2} + x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.3.3.1

Kurangi $y^{2}$ dengan $y^{2}$ .

$x^{3} \frac{d g}{d x} = - y x + 0 + x y$

Langkah 12.1.3.3.2

Tambahkan $- y x$ dan $0$ .

$x^{3} \frac{d g}{d x} = - y x + x y$

Langkah 12.1.3.3.3

Susun kembali faktor-faktor dalam suku-suku $- y x$ dan $x y$ .

$x^{3} \frac{d g}{d x} = - x y + x y$

Langkah 12.1.3.3.4

Tambahkan $- x y$ dan $x y$ .

$x^{3} \frac{d g}{d x} = 0$

Langkah 12.1.4

Bagi setiap suku pada $x^{3} \frac{d g}{d x} = 0$ dengan $x^{3}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.4.1

Bagilah setiap suku di $x^{3} \frac{d g}{d x} = 0$ dengan $x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d g}{d x}}{x^{3}} = \frac{0}{x^{3}}$

Langkah 12.1.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{3} \frac{d g}{d x}}{x^{3}} = \frac{0}{x^{3}}$

Langkah 12.1.4.2.1.2

Bagilah $\frac{d g}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{0}{x^{3}}$

Langkah 12.1.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.4.3.1

Bagilah $0$ dengan $x^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Langkah 13

Temukan $0$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Langkah 13.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Langkah 13.3

Integral dari $0$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Langkah 13.4

Tambahkan $0$ dan $C$ .

$g (x) = C$

Langkah 14

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{1}{2} y^{2}) + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{1}{2} y^{2}) + C$

Langkah 15

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Gabungkan $y^{2}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2}) + C$

Langkah 15.2

Kalikan $\frac{1}{x^{2}}$ dengan $x y - \frac{y^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x y - \frac{y^{2}}{2}}{x^{2}} + C$

Langkah 15.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.3.1

Faktorkan $y$ dari $x y - \frac{y^{2}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.3.1.1

Faktorkan $y$ dari $x y$ .

$f (x, y) = \frac{y x - \frac{y^{2}}{2}}{x^{2}} + C$

Langkah 15.3.1.2

Faktorkan $y$ dari $- \frac{y^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y x + y (- \frac{y}{2})}{x^{2}} + C$

Langkah 15.3.1.3

Faktorkan $y$ dari $y x + y (- \frac{y}{2})$ .

$f (x, y) = \frac{y (x - \frac{y}{2})}{x^{2}} + C$

Langkah 15.3.2

Untuk menuliskan $x$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y (x \cdot \frac{2}{2} - \frac{y}{2})}{x^{2}} + C$

Langkah 15.3.3

Gabungkan $x$ dan $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y (\frac{x \cdot 2}{2} - \frac{y}{2})}{x^{2}} + C$

Langkah 15.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (x, y) = \frac{y \frac{x \cdot 2 - y}{2}}{x^{2}} + C$

Langkah 15.3.5

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$f (x, y) = \frac{y \frac{2 x - y}{2}}{x^{2}} + C$

Langkah 15.4

Gabungkan $y$ dan $\frac{2 x - y}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{\frac{y (2 x - y)}{2}}{x^{2}} + C$

Langkah 15.5

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$f (x, y) = \frac{y (2 x - y)}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C$

Langkah 15.6

Gabungkan.

$f (x, y) = \frac{y (2 x - y) \cdot 1}{2 x^{2}} + C$

Langkah 15.7

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$f (x, y) = \frac{y (2 x - y)}{2 x^{2}} + C$