Kalkulus Contoh

$y^{2} d x + e^{3 x} d y = 0$

Langkah 1

Kurangkan $y^{2} d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$e^{3 x} d y = - y^{2} d x$

Langkah 2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{e^{3 x} y^{2}}$ .

$\frac{1}{e^{3 x} y^{2}} e^{3 x} d y = \frac{1}{e^{3 x} y^{2}} (- y^{2}) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{3 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Faktorkan $e^{3 x}$ dari $e^{3 x} y^{2}$ .

$\frac{1}{e^{3 x} (y^{2})} e^{3 x} d y = \frac{1}{e^{3 x} y^{2}} (- y^{2}) d x$

Langkah 3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{e^{3 x} y^{2}} e^{3 x} d y = \frac{1}{e^{3 x} y^{2}} (- y^{2}) d x$

Langkah 3.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{1}{e^{3 x} y^{2}} (- y^{2}) d x$

Langkah 3.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1}{y^{2}} d y = - \frac{1}{e^{3 x} y^{2}} y^{2} d x$

Langkah 3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{e^{3 x} y^{2}}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{e^{3 x} y^{2}} y^{2} d x$

Langkah 3.3.2

Faktorkan $y^{2}$ dari $e^{3 x} y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{y^{2} e^{3 x}} y^{2} d x$

Langkah 3.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{y^{2} e^{3 x}} y^{2} d x$

Langkah 3.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{e^{3 x}} d x$

Langkah 3.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{y^{2}} d y = - \frac{1}{e^{3 x}} d x$

Langkah 4

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int - \frac{1}{e^{3 x}} d x$

Langkah 4.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Pindahkan $y^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int - \frac{1}{e^{3 x}} d x$

Langkah 4.2.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int - \frac{1}{e^{3 x}} d x$

Langkah 4.2.1.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int - \frac{1}{e^{3 x}} d x$

Langkah 4.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{- 2}$ terhadap $y$ adalah $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int - \frac{1}{e^{3 x}} d x$

Langkah 4.2.3

Tulis kembali $- y^{- 1} + C_{1}$ sebagai $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - \frac{1}{e^{3 x}} d x$

Langkah 4.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int \frac{1}{e^{3 x}} d x$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Tiadakan eksponen dari $e^{3 x}$ dan pindahkan dari penyebut.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int 1 {(e^{3 x})}^{- 1} d x$

Langkah 4.3.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1

Kalikan eksponen dalam ${(e^{3 x})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int 1 e^{3 x \cdot - 1} d x$

Langkah 4.3.2.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int 1 e^{- 3 x} d x$

Langkah 4.3.2.2.2

Kalikan $e^{- 3 x}$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int e^{- 3 x} d x$

Langkah 4.3.3

Biarkan $u = - 3 x$ . Kemudian $d u = - 3 d x$ sehingga $- \frac{1}{3} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Biarkan $u = - 3 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1.1

Diferensialkan $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$

Langkah 4.3.3.1.2

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 x$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.3.3.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Langkah 4.3.3.1.4

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$- 3$

Langkah 4.3.3.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int e^{u} \frac{1}{- 3} d u$

Langkah 4.3.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int e^{u} (- \frac{1}{3}) d u$

Langkah 4.3.4.2

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int - \frac{e^{u}}{3} d u$

Langkah 4.3.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - - \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Langkah 4.3.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 1 \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Langkah 4.3.6.2

Kalikan $\int \frac{e^{u}}{3} d u$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Langkah 4.3.7

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{3} \int e^{u} d u$

Langkah 4.3.8

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u} + C_{2})$

Langkah 4.3.9

Sederhanakan.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{3} e^{u} + C_{2}$

Langkah 4.3.10

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- 3 x$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{3} e^{- 3 x} + C_{2}$

Langkah 4.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$- \frac{1}{y} = \frac{1}{3} e^{- 3 x} + K$

Langkah 5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $e^{- 3 x}$ .

$- \frac{1}{y} = \frac{e^{- 3 x}}{3} + K$

Langkah 5.2

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$y, 3, 1$

Langkah 5.2.2

Karena $y, 3, 1$ memiliki bilangan dan variabel, ada dua langkah untuk menemukan KPK. Temukan KPK untuk bagian numerik $1, 3, 1$ kemudian temukan KPK untuk bagian variabel $y^{1}$ .

Langkah 5.2.3

KPK-nya adalah bilangan positif terkecil yang semua bilangannya dibagi secara merata.

1. Sebutkan faktor prima dari masing-masing bilangan.

2. Kalikan masing-masing faktor dengan jumlah terbesar dari kedua bilangan tersebut.

Langkah 5.2.4

Bilangan $1$ bukan bilangan prima karena bilangan tersebut hanya memiliki satu faktor positif, yaitu bilangan itu sendiri.

Bukan bilangan prima

Langkah 5.2.5

Karena $3$ tidak memiliki faktor selain $1$ dan $3$ .

$3$ adalah bilangan prima

Langkah 5.2.6

Bilangan $1$ bukan bilangan prima karena bilangan tersebut hanya memiliki satu faktor positif, yaitu bilangan itu sendiri.

Bukan bilangan prima

Langkah 5.2.7

KPK dari $1, 3, 1$ adalah hasil perkalian semua faktor prima yang paling banyak muncul pada kedua bilangan tersebut.

$3$

Langkah 5.2.8

Faktor untuk $y^{1}$ adalah $y$ itu sendiri.

$y^{1} = y$

$y$ terjadi $1$ kali.

Langkah 5.2.9

KPK dari $y^{1}$ adalah hasil dari mengalikan semua faktor prima dengan frekuensi terbanyak yang muncul pada kedua pernyataan tersebut.

$y$

Langkah 5.2.10

KPK untuk $y, 3, 1$ adalah bagian bilangan $3$ dikalikan dengan bagian variabel.

$3 y$

Langkah 5.3

Kalikan setiap suku pada $- \frac{1}{y} = \frac{e^{- 3 x}}{3} + K$ dengan $3 y$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Kalikan setiap suku dalam $- \frac{1}{y} = \frac{e^{- 3 x}}{3} + K$ dengan $3 y$ .

$- \frac{1}{y} (3 y) = \frac{e^{- 3 x}}{3} (3 y) + K (3 y)$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{y}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 1}{y} (3 y) = \frac{e^{- 3 x}}{3} (3 y) + K (3 y)$

Langkah 5.3.2.1.2

Faktorkan $y$ dari $3 y$ .

$\frac{- 1}{y} (y \cdot 3) = \frac{e^{- 3 x}}{3} (3 y) + K (3 y)$

Langkah 5.3.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1}{y} (y \cdot 3) = \frac{e^{- 3 x}}{3} (3 y) + K (3 y)$

Langkah 5.3.2.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 \cdot 3 = \frac{e^{- 3 x}}{3} (3 y) + K (3 y)$

Langkah 5.3.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$- 3 = \frac{e^{- 3 x}}{3} (3 y) + K (3 y)$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$- 3 = 3 \frac{e^{- 3 x}}{3} y + K (3 y)$

Langkah 5.3.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- 3 = 3 \frac{e^{- 3 x}}{3} y + K (3 y)$

Langkah 5.3.3.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- 3 = e^{- 3 x} y + K (3 y)$

Langkah 5.3.3.1.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$- 3 = e^{- 3 x} y + 3 K y$

Langkah 5.3.3.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{- 3 x} y + 3 K y$ .

$- 3 = y e^{- 3 x} + 3 K y$

Langkah 5.4

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $y e^{- 3 x} + 3 K y = - 3$ .

$y e^{- 3 x} + 3 K y = - 3$

Langkah 5.4.2

Faktorkan $y$ dari $y e^{- 3 x} + 3 K y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Faktorkan $y$ dari $y e^{- 3 x}$ .

$y (e^{- 3 x}) + 3 K y = - 3$

Langkah 5.4.2.2

Faktorkan $y$ dari $3 K y$ .

$y (e^{- 3 x}) + y (3 K) = - 3$

Langkah 5.4.2.3

Faktorkan $y$ dari $y (e^{- 3 x}) + y (3 K)$ .

$y (e^{- 3 x} + 3 K) = - 3$

Langkah 5.4.3

Bagi setiap suku pada $y (e^{- 3 x} + 3 K) = - 3$ dengan $e^{- 3 x} + 3 K$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1

Bagilah setiap suku di $y (e^{- 3 x} + 3 K) = - 3$ dengan $e^{- 3 x} + 3 K$ .

$\frac{y (e^{- 3 x} + 3 K)}{e^{- 3 x} + 3 K} = \frac{- 3}{e^{- 3 x} + 3 K}$

Langkah 5.4.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- 3 x} + 3 K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y (e^{- 3 x} + 3 K)}{e^{- 3 x} + 3 K} = \frac{- 3}{e^{- 3 x} + 3 K}$

Langkah 5.4.3.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{- 3}{e^{- 3 x} + 3 K}$

Langkah 5.4.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - \frac{3}{e^{- 3 x} + 3 K}$

Langkah 6

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = - \frac{3}{e^{- 3 x} + K}$