Kalkulus Contoh

$(x^{2} + y^{2} + x) d x + y d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = x^{2} + y^{2} + x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2} + x]$

Langkah 1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + y^{2} + x$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x]$

Langkah 1.3

Karena $x^{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x^{2}$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x]$

Langkah 1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + \frac{d}{d y} [x]$

Langkah 1.5

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + 0$

Langkah 1.6

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1

Tambahkan $0$ dan $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 0$

Langkah 1.6.2

Tambahkan $2 y$ dan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.2

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $2 y$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $0$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y = 0$

Langkah 3.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$2 y = 0$ bukan identitas.

Langkah 4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $2 y$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Langkah 4.2

Substitusikan $0$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 y + 0}{N}$

Langkah 4.3

Substitusikan $y$ untuk $N$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $y$ untuk $N$ .

$\frac{2 y + 0}{y}$

Langkah 4.3.2

Tambahkan $2 y$ dan $0$ .

$\frac{2 y}{y}$

Langkah 4.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y}{y}$

Langkah 4.3.3.2

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 4.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int 2 d x}$

Langkah 5

Evaluasi integral $e^{\int 2 d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Terapkan aturan konstanta.

$μ (x, y) = e^{2 x + C}$

Langkah 5.2

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{2 x} + C$

Langkah 6

Kalikan kedua sisi $(x^{2} + y^{2} + x) d x + y d y = 0$ dengan faktor integral $e^{2 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $x^{2} + y^{2} + x$ dengan $e^{2 x}$ .

$(x^{2} + y^{2} + x) e^{2 x} d x + y d y = 0$

Langkah 6.2

Terapkan sifat distributif.

$(x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}) d x + y d y = 0$

Langkah 6.3

Kalikan $y$ dengan $e^{2 x}$ .

$(x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}) d x + y e^{2 x} d y = 0$

Langkah 7

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y e^{2 x} d y$

Langkah 8

Integralkan $N (x, y) = y e^{2 x}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Karena $e^{2 x}$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $e^{2 x}$ keluar dari integral.

$f (x, y) = e^{2 x} \int y d y$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = e^{2 x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Langkah 8.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Tulis kembali $e^{2 x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ sebagai $e^{2 x} \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = e^{2 x} \frac{1}{2} y^{2} + C$

Langkah 8.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Gabungkan $e^{2 x}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x}}{2} y^{2} + C$

Langkah 8.3.2.2

Gabungkan $\frac{e^{2 x}}{2}$ dan $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + C$

Langkah 8.3.3

Susun kembali suku-suku.

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + C$

Langkah 9

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)$

Langkah 10

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Langkah 11

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Langkah 11.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Langkah 11.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $e^{2 x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Langkah 11.3.2

Gabungkan $\frac{e^{2 x}}{2}$ dan $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Langkah 11.3.3

Karena $\frac{y^{2}}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{e^{2 x} y^{2}}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Langkah 11.3.4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x$ .

$\frac{y^{2}}{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Langkah 11.3.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$\frac{y^{2}}{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Langkah 11.3.4.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Langkah 11.3.5

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Langkah 11.3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Langkah 11.3.7

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Langkah 11.3.8

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $e^{2 x}$ .

$\frac{y^{2}}{2} (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Langkah 11.3.9

Gabungkan $2$ dan $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{2 y^{2}}{2} e^{2 x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Langkah 11.3.10

Gabungkan $\frac{2 y^{2}}{2}$ dan $e^{2 x}$ .

$\frac{2 y^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Langkah 11.3.11

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.11.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Langkah 11.3.11.2

Bagilah $y^{2} e^{2 x}$ dengan $1$ .

$y^{2} e^{2 x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Langkah 11.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$y^{2} e^{2 x} + \frac{d g}{d x} = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Langkah 11.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.5.1

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} + e^{2 x} y^{2} = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Langkah 11.5.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{d g}{d x} + e^{2 x} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + y^{2} e^{2 x} = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Langkah 12

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Kurangkan $y^{2} e^{2 x}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x} - y^{2} e^{2 x}$

Langkah 12.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x} - y^{2} e^{2 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.2.1

Kurangi $y^{2} e^{2 x}$ dengan $y^{2} e^{2 x}$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x} + 0$

Langkah 12.1.2.2

Tambahkan $x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Langkah 13

Temukan $x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x} d x$

Langkah 13.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x} d x$

Langkah 13.3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$g (x) = \int x^{2} e^{2 x} d x + \int x e^{2 x} d x$

Langkah 13.4

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x^{2}$ dan $d v = e^{2 x}$ .

$g (x) = x^{2} (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x + \int x e^{2 x} d x$

Langkah 13.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.5.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $e^{2 x}$ .

$g (x) = x^{2} \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x + \int x e^{2 x} d x$

Langkah 13.5.2

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x + \int x e^{2 x} d x$

Langkah 13.6

Karena $\frac{1}{2} \cdot 2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2} \cdot 2$ keluar dari integral.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{2 x} (x) d x) + \int x e^{2 x} d x$

Langkah 13.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.7.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{2}{2} \int e^{2 x} (x) d x) + \int x e^{2 x} d x$

Langkah 13.7.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.7.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{2}{2} \int e^{2 x} (x) d x) + \int x e^{2 x} d x$

Langkah 13.7.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (1 \int e^{2 x} (x) d x) + \int x e^{2 x} d x$

Langkah 13.7.3

Kalikan $\int e^{2 x} (x) d x$ dengan $1$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int e^{2 x} (x) d x + \int x e^{2 x} d x$

Langkah 13.8

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = e^{2 x}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x) + \int x e^{2 x} d x$

Langkah 13.9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.9.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $e^{2 x}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x) + \int x e^{2 x} d x$

Langkah 13.9.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x) + \int x e^{2 x} d x$

Langkah 13.9.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $e^{2 x}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x) + \int x e^{2 x} d x$

Langkah 13.10

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x)) + \int x e^{2 x} d x$

Langkah 13.11

Hilangkan tanda kurung.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{2 x} d x) + \int x e^{2 x} d x$

Langkah 13.12

Biarkan $u_{1} = 2 x$ . Kemudian $d u_{1} = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.12.1

Biarkan $u_{1} = 2 x$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.12.1.1

Diferensialkan $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 13.12.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 13.12.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 13.12.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 13.12.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1}) + \int x e^{2 x} d x$

Langkah 13.13

Gabungkan $e^{u_{1}}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1}) + \int x e^{2 x} d x$

Langkah 13.14

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1})) + \int x e^{2 x} d x$

Langkah 13.15

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.15.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int x e^{2 x} d x$

Langkah 13.15.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int x e^{2 x} d x$

Langkah 13.16

Integral dari $e^{u_{1}}$ terhadap $u_{1}$ adalah $e^{u_{1}}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \int x e^{2 x} d x$

Langkah 13.17

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = e^{2 x}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

Langkah 13.18

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.18.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $e^{2 x}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

Langkah 13.18.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

Langkah 13.19

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x)$

Langkah 13.20

Hilangkan tanda kurung.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{2 x} d x$

Langkah 13.21

Biarkan $u_{2} = 2 x$ . Kemudian $d u_{2} = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.21.1

Biarkan $u_{2} = 2 x$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.21.1.1

Diferensialkan $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 13.21.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 13.21.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 13.21.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 13.21.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 13.22

Gabungkan $e^{u_{2}}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Langkah 13.23

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Langkah 13.24

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.24.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 13.24.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 13.25

Integral dari $e^{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $e^{u_{2}}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C)$

Langkah 13.26

Sederhanakan.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}}}{4} + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

Langkah 13.27

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.27.1

Tambahkan $- \frac{x e^{2 x}}{2}$ dan $\frac{x e^{2 x}}{2}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + 0 + \frac{e^{u_{1}}}{4} - \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

Langkah 13.27.2

Tambahkan $\frac{x^{2} e^{2 x}}{2}$ dan $0$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}}}{4} - \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

Langkah 13.27.3

Untuk menuliskan $- \frac{1}{4} e^{u_{2}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}}}{4} - \frac{1}{4} e^{u_{2}} \cdot \frac{4}{4} + C$

Langkah 13.27.4

Gabungkan $- \frac{1}{4} e^{u_{2}}$ dan $\frac{4}{4}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}}}{4} + \frac{- \frac{1}{4} e^{u_{2}} \cdot 4}{4} + C$

Langkah 13.27.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} - \frac{1}{4} e^{u_{2}} \cdot 4}{4} + C$

Langkah 13.27.6

Gabungkan $e^{u_{2}}$ dan $\frac{1}{4}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} - \frac{e^{u_{2}}}{4} \cdot 4}{4} + C$

Langkah 13.27.7

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} - 4 \frac{e^{u_{2}}}{4}}{4} + C$

Langkah 13.27.8

Gabungkan $- 4$ dan $\frac{e^{u_{2}}}{4}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} + \frac{- 4 e^{u_{2}}}{4}}{4} + C$

Langkah 13.27.9

Hapus faktor persekutuan dari $- 4$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.27.9.1

Faktorkan $4$ dari $- 4 e^{u_{2}}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} + \frac{4 (- e^{u_{2}})}{4}}{4} + C$

Langkah 13.27.9.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.27.9.2.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} + \frac{4 (- e^{u_{2}})}{4 (1)}}{4} + C$

Langkah 13.27.9.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} + \frac{4 (- e^{u_{2}})}{4 \cdot 1}}{4} + C$

Langkah 13.27.9.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} + \frac{- e^{u_{2}}}{1}}{4} + C$

Langkah 13.27.9.2.4

Bagilah $- e^{u_{2}}$ dengan $1$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} - e^{u_{2}}}{4} + C$

Langkah 13.27.10

Kurangi $e^{u_{2}}$ dengan $e^{u_{1}}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{0}{4} + C$

Langkah 13.27.11

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.27.11.1

Faktorkan $4$ dari $0$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{4 (0)}{4} + C$

Langkah 13.27.11.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.27.11.2.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} + C$

Langkah 13.27.11.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} + C$

Langkah 13.27.11.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{0}{1} + C$

Langkah 13.27.11.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + 0 + C$

Langkah 13.27.12

Tambahkan $\frac{x^{2} e^{2 x}}{2}$ dan $0$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + C$

Langkah 13.28

Susun kembali suku-suku.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} + C$

Langkah 14

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} + C$

Langkah 15

Sederhanakan $f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} + C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $e^{2 x}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x}}{2} y^{2} + \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} + C$

Langkah 15.1.2

Gabungkan $\frac{e^{2 x}}{2}$ dan $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} + C$

Langkah 15.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2} e^{2 x} + C$

Langkah 15.1.4

Gabungkan $\frac{x^{2}}{2}$ dan $e^{2 x}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + C$

Langkah 15.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + C$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + C$