Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = x^{2} y^{4}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y^{4}}$ .

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{4}} (x^{2} y^{4})$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan $y^{4}$ dari $x^{2} y^{4}$ .

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{4}} (y^{4} x^{2})$

Langkah 1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{4}} (y^{4} x^{2})$

Langkah 1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d x} = x^{2}$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y^{4}} d y = x^{2} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y^{4}} d y = \int x^{2} d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Pindahkan $y^{4}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int {(y^{4})}^{- 1} d y = \int x^{2} d x$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(y^{4})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{4 \cdot - 1} d y = \int x^{2} d x$

Langkah 2.2.1.2.2

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$\int y^{- 4} d y = \int x^{2} d x$

Langkah 2.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{- 4}$ terhadap $y$ adalah $- \frac{1}{3} y^{- 3}$ .

$- \frac{1}{3} y^{- 3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Langkah 2.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Tulis kembali $- \frac{1}{3} y^{- 3} + C_{1}$ sebagai $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{y^{3}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{y^{3}} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Langkah 2.2.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.2.1

Kalikan $\frac{1}{y^{3}}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{y^{3} \cdot 3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Langkah 2.2.3.2.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $y^{3}$ .

$- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Langkah 2.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$- \frac{1}{3 y^{3}} = \frac{1}{3} x^{3} + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$- \frac{1}{3 y^{3}} = \frac{x^{3}}{3} + K$

Langkah 3.2

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$3 y^{3}, 3, 1$

Langkah 3.2.2

Karena $3 y^{3}, 3, 1$ memiliki bilangan dan variabel, ada dua langkah untuk menemukan KPK. Temukan KPK untuk bagian numerik $3, 3, 1$ kemudian temukan KPK untuk bagian variabel $y^{3}$ .

Langkah 3.2.3

KPK-nya adalah bilangan positif terkecil yang semua bilangannya dibagi secara merata.

1. Sebutkan faktor prima dari masing-masing bilangan.

2. Kalikan masing-masing faktor dengan jumlah terbesar dari kedua bilangan tersebut.

Langkah 3.2.4

Karena $3$ tidak memiliki faktor selain $1$ dan $3$ .

$3$ adalah bilangan prima

Langkah 3.2.5

Bilangan $1$ bukan bilangan prima karena bilangan tersebut hanya memiliki satu faktor positif, yaitu bilangan itu sendiri.

Bukan bilangan prima

Langkah 3.2.6

KPK dari $3, 3, 1$ adalah hasil perkalian semua faktor prima yang paling banyak muncul pada kedua bilangan tersebut.

$3$

Langkah 3.2.7

Faktor-faktor untuk $y^{3}$ adalah $y \cdot y \cdot y$ , yaitu $y$ dikalikan satu sama lain $3$ kali.

$y^{3} = y \cdot y \cdot y$

$y$ terjadi $3$ kali.

Langkah 3.2.8

KPK dari $y^{3}$ adalah hasil dari mengalikan semua faktor prima dengan frekuensi terbanyak yang muncul pada kedua pernyataan tersebut.

$y \cdot y \cdot y$

Langkah 3.2.9

Sederhanakan $y \cdot y \cdot y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.9.1

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$y^{2} \cdot y$

Langkah 3.2.9.2

Kalikan $y^{2}$ dengan $y$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.9.2.1

Kalikan $y^{2}$ dengan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.9.2.1.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$y^{2} \cdot y^{1}$

Langkah 3.2.9.2.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y^{2 + 1}$

Langkah 3.2.9.2.2

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$y^{3}$

Langkah 3.2.10

KPK untuk $3 y^{3}, 3, 1$ adalah bagian bilangan $3$ dikalikan dengan bagian variabel.

$3 y^{3}$

Langkah 3.3

Kalikan setiap suku pada $- \frac{1}{3 y^{3}} = \frac{x^{3}}{3} + K$ dengan $3 y^{3}$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Kalikan setiap suku dalam $- \frac{1}{3 y^{3}} = \frac{x^{3}}{3} + K$ dengan $3 y^{3}$ .

$- \frac{1}{3 y^{3}} (3 y^{3}) = \frac{x^{3}}{3} (3 y^{3}) + K (3 y^{3})$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3 y^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{3 y^{3}}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 1}{3 y^{3}} (3 y^{3}) = \frac{x^{3}}{3} (3 y^{3}) + K (3 y^{3})$

Langkah 3.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1}{3 y^{3}} (3 y^{3}) = \frac{x^{3}}{3} (3 y^{3}) + K (3 y^{3})$

Langkah 3.3.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 = \frac{x^{3}}{3} (3 y^{3}) + K (3 y^{3})$

Langkah 3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$- 1 = 3 \frac{x^{3}}{3} y^{3} + K (3 y^{3})$

Langkah 3.3.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- 1 = 3 \frac{x^{3}}{3} y^{3} + K (3 y^{3})$

Langkah 3.3.3.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 = x^{3} y^{3} + K (3 y^{3})$

Langkah 3.3.3.1.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$- 1 = x^{3} y^{3} + 3 K y^{3}$

Langkah 3.4

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $x^{3} y^{3} + 3 K y^{3} = - 1$ .

$x^{3} y^{3} + 3 K y^{3} = - 1$

Langkah 3.4.2

Faktorkan $y^{3}$ dari $x^{3} y^{3} + 3 K y^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Faktorkan $y^{3}$ dari $x^{3} y^{3}$ .

$y^{3} x^{3} + 3 K y^{3} = - 1$

Langkah 3.4.2.2

Faktorkan $y^{3}$ dari $3 K y^{3}$ .

$y^{3} x^{3} + y^{3} (3 K) = - 1$

Langkah 3.4.2.3

Faktorkan $y^{3}$ dari $y^{3} x^{3} + y^{3} (3 K)$ .

$y^{3} (x^{3} + 3 K) = - 1$

Langkah 3.4.3

Bagi setiap suku pada $y^{3} (x^{3} + 3 K) = - 1$ dengan $x^{3} + 3 K$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1

Bagilah setiap suku di $y^{3} (x^{3} + 3 K) = - 1$ dengan $x^{3} + 3 K$ .

$\frac{y^{3} (x^{3} + 3 K)}{x^{3} + 3 K} = \frac{- 1}{x^{3} + 3 K}$

Langkah 3.4.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{3} + 3 K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y^{3} (x^{3} + 3 K)}{x^{3} + 3 K} = \frac{- 1}{x^{3} + 3 K}$

Langkah 3.4.3.2.1.2

Bagilah $y^{3}$ dengan $1$ .

$y^{3} = \frac{- 1}{x^{3} + 3 K}$

Langkah 3.4.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y^{3} = - \frac{1}{x^{3} + 3 K}$

Langkah 3.4.4

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \sqrt[3]{- \frac{1}{x^{3} + 3 K}}$

Langkah 3.4.5

Sederhanakan $\sqrt[3]{- \frac{1}{x^{3} + 3 K}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.1

Tulis kembali $- \frac{1}{x^{3} + 3 K}$ sebagai ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{1}{x^{3} + 3 K}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.1.1

Tulis kembali $- 1$ sebagai ${(- 1)}^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{1}{x^{3} + 3 K}}$

Langkah 3.4.5.1.2

Tulis kembali $- 1$ sebagai ${(- 1)}^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{1}{x^{3} + 3 K}}$

Langkah 3.4.5.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$y = {(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{1}{x^{3} + 3 K}}$

Langkah 3.4.5.3

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$y = - \sqrt[3]{\frac{1}{x^{3} + 3 K}}$

Langkah 3.4.5.4

Tulis kembali $\sqrt[3]{\frac{1}{x^{3} + 3 K}}$ sebagai $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}$

Langkah 3.4.5.5

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$y = - \frac{1}{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}$

Langkah 3.4.5.6

Kalikan $\frac{1}{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}$ dengan $\frac{{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}^{2}}$ .

$y = - (\frac{1}{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}^{2}})$

Langkah 3.4.5.7

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.7.1

Kalikan $\frac{1}{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}$ dengan $\frac{{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}^{2}}$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}^{2}}{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}^{2}}$

Langkah 3.4.5.7.2

Naikkan $\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}$ menjadi pangkat $1$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}^{1} {\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}^{2}}$

Langkah 3.4.5.7.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}^{1 + 2}}$

Langkah 3.4.5.7.4

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}^{3}}$

Langkah 3.4.5.7.5

Tulis kembali ${\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}^{3}$ sebagai $x^{3} + 3 K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.7.5.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}$ sebagai ${(x^{3} + 3 K)}^{\frac{1}{3}}$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}^{2}}{{({(x^{3} + 3 K)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Langkah 3.4.5.7.5.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}^{2}}{{(x^{3} + 3 K)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Langkah 3.4.5.7.5.3

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $3$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}^{2}}{{(x^{3} + 3 K)}^{\frac{3}{3}}}$

Langkah 3.4.5.7.5.4

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.7.5.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}^{2}}{{(x^{3} + 3 K)}^{\frac{3}{3}}}$

Langkah 3.4.5.7.5.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}^{2}}{{(x^{3} + 3 K)}^{1}}$

Langkah 3.4.5.7.5.5

Sederhanakan.

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}^{2}}{x^{3} + 3 K}$

Langkah 3.4.5.8

Tulis kembali ${\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}^{2}$ sebagai $\sqrt[3]{{(x^{3} + 3 K)}^{2}}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{{(x^{3} + 3 K)}^{2}}}{x^{3} + 3 K}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = - \frac{\sqrt[3]{{(x^{3} + K)}^{2}}}{x^{3} + K}$