Kalkulus Contoh

$y \frac{d x}{d y} - 2 x = 3 y^{2} - 2$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $\frac{d x}{d y} + M (y) x = Q (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Bagilah setiap suku di $y \frac{d x}{d y} - 2 x = 3 y^{2} - 2$ dengan $y$ .

$\frac{y \frac{d x}{d y}}{y} + \frac{- 2 x}{y} = \frac{3 y^{2}}{y} + \frac{- 2}{y}$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y \frac{d x}{d y}}{y} + \frac{- 2 x}{y} = \frac{3 y^{2}}{y} + \frac{- 2}{y}$

Langkah 1.2.2

Bagilah $\frac{d x}{d y}$ dengan $1$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- 2 x}{y} = \frac{3 y^{2}}{y} + \frac{- 2}{y}$

Langkah 1.3

Hapus faktor persekutuan dari $y^{2}$ dan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Faktorkan $y$ dari $3 y^{2}$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- 2 x}{y} = \frac{y (3 y)}{y} + \frac{- 2}{y}$

Langkah 1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- 2 x}{y} = \frac{y (3 y)}{y^{1}} + \frac{- 2}{y}$

Langkah 1.3.2.2

Faktorkan $y$ dari $y^{1}$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- 2 x}{y} = \frac{y (3 y)}{y \cdot 1} + \frac{- 2}{y}$

Langkah 1.3.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d x}{d y} + \frac{- 2 x}{y} = \frac{y (3 y)}{y \cdot 1} + \frac{- 2}{y}$

Langkah 1.3.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d x}{d y} + \frac{- 2 x}{y} = \frac{3 y}{1} + \frac{- 2}{y}$

Langkah 1.3.2.5

Bagilah $3 y$ dengan $1$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- 2 x}{y} = 3 y + \frac{- 2}{y}$

Langkah 1.4

Faktorkan $x$ dari $\frac{- 2 x}{y}$ .

$\frac{d x}{d y} + x \frac{- 2}{y} = 3 y + \frac{- 2}{y}$

Langkah 1.5

Susun kembali $x$ dan $\frac{- 2}{y}$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- 2}{y} x = 3 y + \frac{- 2}{y}$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (y) d y}$ , di mana $P (y) = \frac{- 2}{y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int \frac{- 2}{y} d y}$

Langkah 2.2

Integralkan $\frac{- 2}{y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Pisahkan pecahan menjadi beberapa pecahan.

$e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Langkah 2.2.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Langkah 2.2.3

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Langkah 2.2.4

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Langkah 2.2.5

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Langkah 2.2.6

Sederhanakan.

$e^{- 2 \ln (| y |) + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{- 2 \ln (y)}$

Langkah 2.4

Gunakan kaidah pangkat logaritma.

$e^{\ln (y^{- 2})}$

Langkah 2.5

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$y^{- 2}$

Langkah 2.6

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{y^{2}}$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $\frac{1}{y^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d x}{d y} + \frac{1}{y^{2}} (\frac{- 2}{y} x) = \frac{1}{y^{2}} (3 y) + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Langkah 3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Gabungkan $\frac{1}{y^{2}}$ dan $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}} (\frac{- 2}{y} x) = \frac{1}{y^{2}} (3 y) + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Langkah 3.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}} (- \frac{2}{y} x) = \frac{1}{y^{2}} (3 y) + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Langkah 3.2.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{1}{y^{2}} (\frac{2}{y} x) = \frac{1}{y^{2}} (3 y) + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Langkah 3.2.4

Gabungkan $\frac{2}{y}$ dan $x$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{2 x}{y} = \frac{1}{y^{2}} (3 y) + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Langkah 3.2.5

Kalikan $- \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{2 x}{y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.1

Kalikan $\frac{2 x}{y}$ dengan $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y \cdot y^{2}} = \frac{1}{y^{2}} (3 y) + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Langkah 3.2.5.2

Kalikan $y$ dengan $y^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.2.1

Kalikan $y$ dengan $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.2.1.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{1} y^{2}} = \frac{1}{y^{2}} (3 y) + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Langkah 3.2.5.2.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{1 + 2}} = \frac{1}{y^{2}} (3 y) + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Langkah 3.2.5.2.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{1}{y^{2}} (3 y) + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Langkah 3.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = 3 \frac{1}{y^{2}} y + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Langkah 3.3.2

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{3}{y^{2}} y + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Langkah 3.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Faktorkan $y$ dari $y^{2}$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{3}{y \cdot y} y + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Langkah 3.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{3}{y \cdot y} y + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Langkah 3.3.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{3}{y} + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Langkah 3.3.4

Gabungkan.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{3}{y} + \frac{1 \cdot - 2}{y^{2} y}$

Langkah 3.3.5

Kalikan $y^{2}$ dengan $y$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.5.1

Kalikan $y^{2}$ dengan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.5.1.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{3}{y} + \frac{1 \cdot - 2}{y^{2} y^{1}}$

Langkah 3.3.5.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{3}{y} + \frac{1 \cdot - 2}{y^{2 + 1}}$

Langkah 3.3.5.2

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{3}{y} + \frac{1 \cdot - 2}{y^{3}}$

Langkah 3.3.6

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{3}{y} + \frac{- 2}{y^{3}}$

Langkah 3.3.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{3}{y} - \frac{2}{y^{3}}$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} x] = \frac{3}{y} - \frac{2}{y^{3}}$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} x] d y = \int \frac{3}{y} - \frac{2}{y^{3}} d y$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$\frac{1}{y^{2}} x = \int \frac{3}{y} - \frac{2}{y^{3}} d y$

Langkah 7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{y^{2}} x = \int \frac{3}{y} d y + \int - \frac{2}{y^{3}} d y$

Langkah 7.2

Karena $3$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 \int \frac{1}{y} d y + \int - \frac{2}{y^{3}} d y$

Langkah 7.3

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 (\ln (| y |) + C) + \int - \frac{2}{y^{3}} d y$

Langkah 7.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 (\ln (| y |) + C) - \int \frac{2}{y^{3}} d y$

Langkah 7.5

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 (\ln (| y |) + C) - (2 \int \frac{1}{y^{3}} d y)$

Langkah 7.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 (\ln (| y |) + C) - 2 \int \frac{1}{y^{3}} d y$

Langkah 7.6.2

Pindahkan $y^{3}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 (\ln (| y |) + C) - 2 \int {(y^{3})}^{- 1} d y$

Langkah 7.6.3

Kalikan eksponen dalam ${(y^{3})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 (\ln (| y |) + C) - 2 \int y^{3 \cdot - 1} d y$

Langkah 7.6.3.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 (\ln (| y |) + C) - 2 \int y^{- 3} d y$

Langkah 7.7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{- 3}$ terhadap $y$ adalah $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 (\ln (| y |) + C) - 2 (- \frac{1}{2} y^{- 2} + C)$

Langkah 7.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.8.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.8.1.1

Gabungkan $y^{- 2}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 (\ln (| y |) + C) - 2 (- \frac{y^{- 2}}{2} + C)$

Langkah 7.8.1.2

Pindahkan $y^{- 2}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 (\ln (| y |) + C) - 2 (- \frac{1}{2 y^{2}} + C)$

Langkah 7.8.2

Sederhanakan.

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 \ln (| y |) - \frac{- 1}{y^{2}} + C$

Langkah 7.8.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.8.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 \ln (| y |) - - \frac{1}{y^{2}} + C$

Langkah 7.8.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 \ln (| y |) + 1 \frac{1}{y^{2}} + C$

Langkah 7.8.3.3

Kalikan $\frac{1}{y^{2}}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 \ln (| y |) + \frac{1}{y^{2}} + C$

Langkah 8

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Pindahkan semua suku yang mengandung variabel ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Kurangkan $3 \ln (| y |)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{1}{y^{2}} x - 3 \ln (| y |) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Langkah 8.1.2

Kurangkan $\frac{1}{y^{2}}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{1}{y^{2}} x - 3 \ln (| y |) - \frac{1}{y^{2}} = C$

Langkah 8.1.3

Kurangkan $C$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{1}{y^{2}} x - 3 \ln (| y |) - \frac{1}{y^{2}} - C = 0$

Langkah 8.1.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.4.1

Gabungkan $\frac{1}{y^{2}}$ dan $x$ .

$\frac{x}{y^{2}} - 3 \ln (| y |) - \frac{1}{y^{2}} - C = 0$

Langkah 8.1.4.2

Sederhanakan $- 3 \ln (| y |)$ dengan memindahkan $3$ ke dalam logaritma.

$\frac{x}{y^{2}} - \ln ({| y |}^{3}) - \frac{1}{y^{2}} - C = 0$

Langkah 8.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $x$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Tambahkan $\ln ({| y |}^{3})$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{x}{y^{2}} - \frac{1}{y^{2}} - C = \ln ({| y |}^{3})$

Langkah 8.2.2

Tambahkan $\frac{1}{y^{2}}$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{x}{y^{2}} - C = \ln ({| y |}^{3}) + \frac{1}{y^{2}}$

Langkah 8.2.3

Tambahkan $C$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{x}{y^{2}} = \ln ({| y |}^{3}) + \frac{1}{y^{2}} + C$

Langkah 8.3

Kalikan kedua ruas dengan $y^{2}$ .

$\frac{x}{y^{2}} y^{2} = (\ln ({| y |}^{3}) + \frac{1}{y^{2}} + C) y^{2}$

Langkah 8.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x}{y^{2}} y^{2} = (\ln ({| y |}^{3}) + \frac{1}{y^{2}} + C) y^{2}$

Langkah 8.4.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x = (\ln ({| y |}^{3}) + \frac{1}{y^{2}} + C) y^{2}$

Langkah 8.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1

Sederhanakan $(\ln ({| y |}^{3}) + \frac{1}{y^{2}} + C) y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$x = \ln ({| y |}^{3}) y^{2} + \frac{1}{y^{2}} y^{2} + C y^{2}$

Langkah 8.4.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \ln ({| y |}^{3}) y^{2} + \frac{1}{y^{2}} y^{2} + C y^{2}$

Langkah 8.4.2.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \ln ({| y |}^{3}) y^{2} + 1 + C y^{2}$

Langkah 8.4.2.1.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1.3.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $\ln ({| y |}^{3}) y^{2} + 1 + C y^{2}$ .

$x = y^{2} \ln ({| y |}^{3}) + 1 + C y^{2}$

Langkah 8.4.2.1.3.2

Pindahkan $1$ .

$x = y^{2} \ln ({| y |}^{3}) + C y^{2} + 1$

Langkah 8.4.2.1.3.3

Susun kembali $y^{2} \ln ({| y |}^{3})$ dan $C y^{2}$ .

$x = C y^{2} + y^{2} \ln ({| y |}^{3}) + 1$