Kalkulus Contoh

$(1 + e^{x} y + x e^{x} y) d x + (x e^{x} + 2) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1 + e^{x} y + x e^{x} y]$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + e^{x} y + x e^{x} y$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{x} y] + \frac{d}{d y} [x e^{x} y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{x} y] + \frac{d}{d y} [x e^{x} y]$

Langkah 1.2.2

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [e^{x} y] + \frac{d}{d y} [x e^{x} y]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [e^{x} y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $e^{x}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $e^{x} y$ terhadap $y$ adalah $e^{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + e^{x} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x e^{x} y]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x e^{x} y]$

Langkah 1.3.3

Kalikan $e^{x}$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + e^{x} + \frac{d}{d y} [x e^{x} y]$

Langkah 1.4

Evaluasi $\frac{d}{d y} [x e^{x} y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Karena $x e^{x}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x e^{x} y$ terhadap $y$ adalah $x e^{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + e^{x} + x e^{x} \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + e^{x} + x e^{x} \cdot 1$

Langkah 1.4.3

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + e^{x} + x e^{x}$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Tambahkan $0$ dan $e^{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} + x e^{x}$

Langkah 1.5.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} x + e^{x}$

Langkah 1.5.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{x} x + e^{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x e^{x} + e^{x}$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = x e^{x} + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x e^{x} + 2]$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x e^{x} + 2$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 2.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 2.3.4

Kalikan $e^{x}$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 2.4

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x e^{x} + e^{x} + 0$

Langkah 2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Tambahkan $x e^{x} + e^{x}$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x e^{x} + e^{x}$

Langkah 2.5.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x} x + e^{x}$

Langkah 2.5.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{x} x + e^{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x e^{x} + e^{x}$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $x e^{x} + e^{x}$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $x e^{x} + e^{x}$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x e^{x} + e^{x} = x e^{x} + e^{x}$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$x e^{x} + e^{x} = x e^{x} + e^{x}$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x e^{x} + 2 d y$

Langkah 5

Integralkan $N (x, y) = x e^{x} + 2$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = (x e^{x} + 2) y + C$

Langkah 6

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = (x e^{x} + 2) y + g (x)$

Langkah 7

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Langkah 8

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x e^{x} + 2) y + g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $(x e^{x} + 2) y + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [(x e^{x} + 2) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(x e^{x} + 2) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Langkah 8.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [(x e^{x} + 2) y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $(x e^{x} + 2) y$ terhadap $x$ adalah $y \frac{d}{d x} [x e^{x} + 2]$ .

$y \frac{d}{d x} [x e^{x} + 2] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Langkah 8.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x e^{x} + 2$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$y (\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Langkah 8.3.3

$y (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Langkah 8.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$y (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Langkah 8.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$y (x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Langkah 8.3.6

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$y (x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Langkah 8.3.7

Kalikan $e^{x}$ dengan $1$ .

$y (x e^{x} + e^{x} + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Langkah 8.3.8

Tambahkan $x e^{x} + e^{x}$ dan $0$ .

$y (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Langkah 8.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$y (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d g}{d x} = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Langkah 8.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.1

Terapkan sifat distributif.

$y (x e^{x}) + y e^{x} + \frac{d g}{d x} = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Langkah 8.5.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} + e^{x} x y + e^{x} y = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Langkah 8.5.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{d g}{d x} + e^{x} x y + e^{x} y$ .

$\frac{d g}{d x} + x y e^{x} + y e^{x} = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $1 + e^{x} y + x e^{x} y$ .

$\frac{d g}{d x} + x y e^{x} + y e^{x} = 1 + y e^{x} + x y e^{x}$

Langkah 9.1.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.2.1

Kurangkan $x y e^{x}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} + y e^{x} = 1 + y e^{x} + x y e^{x} - x y e^{x}$

Langkah 9.1.2.2

Kurangkan $y e^{x}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} = 1 + y e^{x} + x y e^{x} - x y e^{x} - y e^{x}$

Langkah 9.1.2.3

Gabungkan suku balikan dalam $1 + y e^{x} + x y e^{x} - x y e^{x} - y e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.2.3.1

Kurangi $x y e^{x}$ dengan $x y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 1 + y e^{x} + 0 - y e^{x}$

Langkah 9.1.2.3.2

Tambahkan $1 + y e^{x}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 1 + y e^{x} - y e^{x}$

Langkah 9.1.2.3.3

Kurangi $y e^{x}$ dengan $y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 1 + 0$

Langkah 9.1.2.3.4

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 1$

Langkah 10

Temukan $1$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = 1$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int d x$

Langkah 10.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int d x$

Langkah 10.3

Terapkan aturan konstanta.

$g (x) = x + C$

Langkah 11

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = (x e^{x} + 2) y + g (x)$ .

$f (x, y) = (x e^{x} + 2) y + x + C$

Langkah 12

Sederhanakan $f (x, y) = (x e^{x} + 2) y + x + C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Terapkan sifat distributif.

$f (x, y) = x e^{x} y + 2 y + x + C$

Langkah 12.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $f (x, y) = x e^{x} y + 2 y + x + C$ .

$f (x, y) = x y e^{x} + 2 y + x + C$