Kalkulus Contoh

$y (2 x^{2} - x y + 1) d x + (x - y) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = y (2 x^{2} - x y + 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (2 x^{2} - x y + 1)]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ adalah $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ di mana $f (y) = y$ dan $g (y) = 2 x^{2} - x y + 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [2 x^{2} - x y + 1] + (2 x^{2} - x y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x^{2} - x y + 1$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- x y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- x y] + \frac{d}{d y} [1]) + (2 x^{2} - x y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3.2

Karena $2 x^{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 x^{2}$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (0 + \frac{d}{d y} [- x y] + \frac{d}{d y} [1]) + (2 x^{2} - x y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3.3

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d y} [- x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [- x y] + \frac{d}{d y} [1]) + (2 x^{2} - x y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3.4

Karena $- x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- x y$ terhadap $y$ adalah $- x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + (2 x^{2} - x y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]) + (2 x^{2} - x y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3.6

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- x + \frac{d}{d y} [1]) + (2 x^{2} - x y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3.7

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- x + 0) + (2 x^{2} - x y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3.8

Tambahkan $- x$ dan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- x) + (2 x^{2} - x y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- x) + (2 x^{2} - x y + 1) \cdot 1$

Langkah 1.3.10

Kalikan $2 x^{2} - x y + 1$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- x) + 2 x^{2} - x y + 1$

Langkah 1.4

Kurangi $x y$ dengan $y (- x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Pindahkan $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} - x y - x y + 1$

Langkah 1.4.2

Kurangi $x y$ dengan $- x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} - 2 x y + 1$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = x - y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x - y]$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Langkah 2.4

Karena $- y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

Langkah 2.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $2 x^{2} - 2 x y + 1$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $1$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x^{2} - 2 x y + 1 = 1$

Langkah 3.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$2 x^{2} - 2 x y + 1 = 1$ bukan identitas.

Langkah 4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $2 x^{2} - 2 x y + 1$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x y + 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Langkah 4.2

Substitusikan $1$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x y + 1 - 1}{N}$

Langkah 4.3

Substitusikan $x - y$ untuk $N$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $x - y$ untuk $N$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x y + 1 - 1}{x - y}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x y + 0}{x - y}$

Langkah 4.3.2.2

Tambahkan $2 x^{2} - 2 x y$ dan $0$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x y}{x - y}$

Langkah 4.3.2.3

Faktorkan $2 x$ dari $2 x^{2} - 2 x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.3.1

Faktorkan $2 x$ dari $2 x^{2}$ .

$\frac{2 x (x) - 2 x y}{x - y}$

Langkah 4.3.2.3.2

Faktorkan $2 x$ dari $- 2 x y$ .

$\frac{2 x (x) + 2 x (- y)}{x - y}$

Langkah 4.3.2.3.3

Faktorkan $2 x$ dari $2 x (x) + 2 x (- y)$ .

$\frac{2 x (x - y)}{x - y}$

Langkah 4.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x - y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x (x - y)}{x - y}$

Langkah 4.3.3.2

Bagilah $2 x$ dengan $1$ .

$2 x$

Langkah 4.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int 2 x d x}$

Langkah 5

Evaluasi integral $e^{\int 2 x d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{2 \int x d x}$

Langkah 5.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Langkah 5.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tulis kembali $e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$ sebagai $e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2}} + C$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2}} + C$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{2}{2} x^{2}} + C$

Langkah 5.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$μ (x, y) = e^{\frac{2}{2} x^{2}} + C$

Langkah 5.3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$μ (x, y) = e^{1 x^{2}} + C$

Langkah 5.3.2.3

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$μ (x, y) = e^{x^{2}} + C$

Langkah 6

Kalikan kedua sisi $y (2 x^{2} - x y + 1) d x + (x - y) d y = 0$ dengan faktor integral $e^{x^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $y (2 x^{2} - x y + 1)$ dengan $e^{x^{2}}$ .

$y (2 x^{2} - x y + 1) e^{x^{2}} d x + (x - y) d y = 0$

Langkah 6.2

Terapkan sifat distributif.

$(y (2 x^{2}) + y (- x y) + y \cdot 1) e^{x^{2}} d x + (x - y) d y = 0$

Langkah 6.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$(2 y x^{2} + y (- x y) + y \cdot 1) e^{x^{2}} d x + (x - y) d y = 0$

Langkah 6.3.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$(2 y x^{2} - y (x y) + y \cdot 1) e^{x^{2}} d x + (x - y) d y = 0$

Langkah 6.3.3

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$(2 y x^{2} - y (x y) + y) e^{x^{2}} d x + (x - y) d y = 0$

Langkah 6.4

Kalikan $y$ dengan $y$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Pindahkan $y$ .

$(2 y x^{2} - (y \cdot y) x + y) e^{x^{2}} d x + (x - y) d y = 0$

Langkah 6.4.2

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$(2 y x^{2} - y^{2} x + y) e^{x^{2}} d x + (x - y) d y = 0$

Langkah 6.5

Terapkan sifat distributif.

$(2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}) d x + (x - y) d y = 0$

Langkah 6.6

Kalikan $x - y$ dengan $e^{x^{2}}$ .

$(2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}) d x + (x - y) e^{x^{2}} d y = 0$

Langkah 6.7

Terapkan sifat distributif.

$(2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}) d x + (x e^{x^{2}} - y e^{x^{2}}) d y = 0$

Langkah 7

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x e^{x^{2}} - y e^{x^{2}} d y$

Langkah 8

Integralkan $N (x, y) = x e^{x^{2}} - y e^{x^{2}}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = \int x e^{x^{2}} d y + \int - y e^{x^{2}} d y$

Langkah 8.2

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y + C + \int - y e^{x^{2}} d y$

Langkah 8.3

Karena $- e^{x^{2}}$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- e^{x^{2}}$ keluar dari integral.

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y + C - e^{x^{2}} \int y d y$

Langkah 8.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y + C - e^{x^{2}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Langkah 8.5

Sederhanakan.

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - 1 \cdot \frac{1}{2} e^{x^{2}} y^{2} + C$

Langkah 8.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - 1 (\frac{1}{2}) e^{x^{2}} y^{2} + C$

Langkah 8.6.2

Tulis kembali $- 1 (\frac{1}{2})$ sebagai $- (\frac{1}{2})$ .

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - (\frac{1}{2}) e^{x^{2}} y^{2} + C$

Langkah 8.6.3

Kalikan $- 1$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - \frac{1}{2} e^{x^{2}} y^{2} + C$

Langkah 8.6.4

Gabungkan $e^{x^{2}}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - \frac{e^{x^{2}}}{2} y^{2} + C$

Langkah 8.6.5

Gabungkan $y^{2}$ dan $\frac{e^{x^{2}}}{2}$ .

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - \frac{y^{2} e^{x^{2}}}{2} + C$

Langkah 8.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.7.1

Susun kembali suku-suku.

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - (\frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}) + C$

Langkah 8.7.2

Hilangkan tanda kurung.

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - (\frac{1}{2} y^{2}) e^{x^{2}} + C$

Langkah 8.7.3

Hilangkan tanda kurung.

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}} + C$

Langkah 9

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}} + g (x)$

Langkah 10

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Langkah 11

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{x^{2}} y - \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}} + g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Langkah 11.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x e^{x^{2}} y - \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}} + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x e^{x^{2}} y] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{x^{2}} y] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Langkah 11.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x e^{x^{2}} y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $x e^{x^{2}} y$ terhadap $x$ adalah $y \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Langkah 11.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = e^{x^{2}}$ .

$y (x \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Langkah 11.3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $x^{2}$ .

$y (x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Langkah 11.3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ adalah $a^{u_{1}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$y (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Langkah 11.3.3.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x^{2}$ .

$y (x (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Langkah 11.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$y (x (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Langkah 11.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$y (x (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Langkah 11.3.6

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$y (x^{1} x (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Langkah 11.3.7

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$y (x^{1} x^{1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Langkah 11.3.8

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y (x^{1 + 1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Langkah 11.3.9

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$y (x^{2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Langkah 11.3.10

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $e^{x^{2}}$ .

$y (x^{2} (2 \cdot e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Langkah 11.3.11

Kalikan $e^{x^{2}}$ dengan $1$ .

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Langkah 11.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.1

Gabungkan $y^{2}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Langkah 11.4.2

Gabungkan $e^{x^{2}}$ dan $\frac{y^{2}}{2}$ .

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x^{2}} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Langkah 11.4.3

Karena $- \frac{y^{2}}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{e^{x^{2}} y^{2}}{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$ .

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) - \frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Langkah 11.4.4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $x^{2}$ .

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) - \frac{y^{2}}{2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Langkah 11.4.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ adalah $a^{u_{2}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) - \frac{y^{2}}{2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Langkah 11.4.4.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $x^{2}$ .

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) - \frac{y^{2}}{2} (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Langkah 11.4.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) - \frac{y^{2}}{2} (e^{x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Langkah 11.4.6

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) - 2 \frac{y^{2}}{2} (e^{x^{2}} (x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Langkah 11.4.7

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{y^{2}}{2}$ .

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{- 2 y^{2}}{2} (e^{x^{2}} (x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Langkah 11.4.8

Gabungkan $e^{x^{2}}$ dan $\frac{- 2 y^{2}}{2}$ .

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{e^{x^{2}} (- 2 y^{2})}{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Langkah 11.4.9

Gabungkan $\frac{e^{x^{2}} (- 2 y^{2})}{2}$ dan $x$ .

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{e^{x^{2}} (- 2 y^{2}) x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Langkah 11.4.10

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.10.1

Faktorkan $2$ dari $e^{x^{2}} (- 2 y^{2}) x$ .

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{2 (e^{x^{2}} (- y^{2}) x)}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Langkah 11.4.10.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.10.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{2 (e^{x^{2}} (- y^{2}) x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Langkah 11.4.10.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{2 (e^{x^{2}} (- y^{2}) x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Langkah 11.4.10.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{e^{x^{2}} (- y^{2}) x}{1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Langkah 11.4.10.2.4

Bagilah $e^{x^{2}} (- y^{2}) x$ dengan $1$ .

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (- y^{2}) x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Langkah 11.5

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (- y^{2}) x + \frac{d g}{d x} = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Langkah 11.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.6.1

Terapkan sifat distributif.

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}})) + y e^{x^{2}} + e^{x^{2}} (- y^{2}) x + \frac{d g}{d x} = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Langkah 11.6.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} + 2 e^{x^{2}} x^{2} y + e^{x^{2}} y - e^{x^{2}} y^{2} x = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Langkah 11.6.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{d g}{d x} + 2 e^{x^{2}} x^{2} y + e^{x^{2}} y - e^{x^{2}} y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} + 2 x^{2} y e^{x^{2}} + y e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Langkah 12

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Kurangkan $2 x^{2} y e^{x^{2}}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} + y e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}} - 2 x^{2} y e^{x^{2}}$

Langkah 12.1.2

Kurangkan $y e^{x^{2}}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} - y^{2} x e^{x^{2}} = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}} - 2 x^{2} y e^{x^{2}} - y e^{x^{2}}$

Langkah 12.1.3

Tambahkan $y^{2} x e^{x^{2}}$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d g}{d x} = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}} - 2 x^{2} y e^{x^{2}} - y e^{x^{2}} + y^{2} x e^{x^{2}}$

Langkah 12.1.4

Gabungkan suku balikan dalam $2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}} - 2 x^{2} y e^{x^{2}} - y e^{x^{2}} + y^{2} x e^{x^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.4.1

Susun kembali faktor-faktor dalam suku-suku $2 y x^{2} e^{x^{2}}$ dan $- 2 x^{2} y e^{x^{2}}$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 e^{x^{2}} x^{2} y - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}} - 2 e^{x^{2}} x^{2} y - y e^{x^{2}} + y^{2} x e^{x^{2}}$

Langkah 12.1.4.2

Kurangi $2 e^{x^{2}} x^{2} y$ dengan $2 e^{x^{2}} x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} = - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}} + 0 - y e^{x^{2}} + y^{2} x e^{x^{2}}$

Langkah 12.1.4.3

Tambahkan $- y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}} - y e^{x^{2}} + y^{2} x e^{x^{2}}$

Langkah 12.1.4.4

Kurangi $y e^{x^{2}}$ dengan $y e^{x^{2}}$ .

$\frac{d g}{d x} = - y^{2} x e^{x^{2}} + 0 + y^{2} x e^{x^{2}}$

Langkah 12.1.4.5

Tambahkan $- y^{2} x e^{x^{2}}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - y^{2} x e^{x^{2}} + y^{2} x e^{x^{2}}$

Langkah 12.1.4.6

Tambahkan $- y^{2} x e^{x^{2}}$ dan $y^{2} x e^{x^{2}}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Langkah 13

Temukan $0$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Langkah 13.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Langkah 13.3

Integral dari $0$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Langkah 13.4

Tambahkan $0$ dan $C$ .

$g (x) = C$

Langkah 14

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = x e^{x^{2}} y - \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}} + g (x)$ .

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}} + C$

Langkah 15

Sederhanakan $f (x, y) = x e^{x^{2}} y - \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}} + C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1.1

Gabungkan $y^{2}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - \frac{y^{2}}{2} e^{x^{2}} + C$

Langkah 15.1.2

Gabungkan $e^{x^{2}}$ dan $\frac{y^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - \frac{e^{x^{2}} y^{2}}{2} + C$

Langkah 15.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $f (x, y) = x e^{x^{2}} y - \frac{e^{x^{2}} y^{2}}{2} + C$ .

$f (x, y) = x y e^{x^{2}} - \frac{y^{2} e^{x^{2}}}{2} + C$