Kalkulus Contoh

$(y^{2} - 2 x y) d x + x^{2} d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = y^{2} - 2 x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 x y]$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y^{2} - 2 x y$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + \frac{d}{d y} [- 2 x y]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [- 2 x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $- 2 x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 2 x y$ terhadap $y$ adalah $- 2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x \cdot 1$

Langkah 1.3.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x$

Langkah 1.4

Susun kembali suku-suku.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x + 2 y$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $- 2 x + 2 y$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $2 x$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 x + 2 y = 2 x$

Langkah 3.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$- 2 x + 2 y = 2 x$ bukan identitas.

Langkah 4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $2 x$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Langkah 4.2

Substitusikan $- 2 x + 2 y$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 x - (- 2 x + 2 y)}{M}$

Langkah 4.3

Substitusikan $y^{2} - 2 x y$ untuk $M$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $y^{2} - 2 x y$ untuk $M$ .

$\frac{2 x - (- 2 x + 2 y)}{y^{2} - 2 x y}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 x - (- 2 x) - (2 y)}{y^{2} - 2 x y}$

Langkah 4.3.2.2

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$\frac{2 x + 2 x - (2 y)}{y^{2} - 2 x y}$

Langkah 4.3.2.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{2 x + 2 x - 2 y}{y^{2} - 2 x y}$

Langkah 4.3.2.4

Tambahkan $2 x$ dan $2 x$ .

$\frac{4 x - 2 y}{y^{2} - 2 x y}$

Langkah 4.3.2.5

Faktorkan $2$ dari $4 x - 2 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.5.1

Faktorkan $2$ dari $4 x$ .

$\frac{2 (2 x) - 2 y}{y^{2} - 2 x y}$

Langkah 4.3.2.5.2

Faktorkan $2$ dari $- 2 y$ .

$\frac{2 (2 x) + 2 (- y)}{y^{2} - 2 x y}$

Langkah 4.3.2.5.3

Faktorkan $2$ dari $2 (2 x) + 2 (- y)$ .

$\frac{2 (2 x - y)}{y^{2} - 2 x y}$

Langkah 4.3.3

Faktorkan $y$ dari $y^{2} - 2 x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Faktorkan $y$ dari $y^{2}$ .

$\frac{2 (2 x - y)}{y \cdot y - 2 x y}$

Langkah 4.3.3.2

Faktorkan $y$ dari $- 2 x y$ .

$\frac{2 (2 x - y)}{y \cdot y + y (- 2 x)}$

Langkah 4.3.3.3

Faktorkan $y$ dari $y \cdot y + y (- 2 x)$ .

$\frac{2 (2 x - y)}{y (y - 2 x)}$

Langkah 4.3.4

Hapus faktor persekutuan dari $2 x - y$ dan $y - 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1

Faktorkan $- 1$ dari $2 x$ .

$\frac{2 (- (- 2 x) - y)}{y (y - 2 x)}$

Langkah 4.3.4.2

Faktorkan $- 1$ dari $- y$ .

$\frac{2 (- (- 2 x) - (y))}{y (y - 2 x)}$

Langkah 4.3.4.3

Faktorkan $- 1$ dari $- (- 2 x) - (y)$ .

$\frac{2 (- (- 2 x + y))}{y (y - 2 x)}$

Langkah 4.3.4.4

Tulis kembali $- (- 2 x + y)$ sebagai $- 1 (- 2 x + y)$ .

$\frac{2 (- 1 (- 2 x + y))}{y (y - 2 x)}$

Langkah 4.3.4.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{2 (- 1 (- 2 x + y))}{y (- 2 x + y)}$

Langkah 4.3.4.6

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (- 1 (- 2 x + y))}{y (- 2 x + y)}$

Langkah 4.3.4.7

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{y}$

Langkah 4.3.5

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{- 2}{y}$

Langkah 4.3.6

Substitusikan $y^{2} - 2 x y$ untuk $M$ .

$- \frac{2}{y}$

Langkah 4.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Langkah 5

Evaluasi integral $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Langkah 5.2

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Langkah 5.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Langkah 5.4

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Langkah 5.5

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Langkah 5.6

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Sederhanakan $- 2 \ln (| y |)$ dengan memindahkan $- 2$ ke dalam logaritma.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Langkah 5.6.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Langkah 5.6.3

Hapus nilai mutlak dalam ${| y |}^{- 2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Langkah 5.6.4

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Langkah 6

Kalikan kedua sisi $(y^{2} - 2 x y) d x + x^{2} d y = 0$ dengan faktor integral $\frac{1}{y^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $y^{2} - 2 x y$ dengan $\frac{1}{y^{2}}$ .

$(y^{2} - 2 x y) \frac{1}{y^{2}} d x + x^{2} d y = 0$

Langkah 6.2

Kalikan $y^{2} - 2 x y$ dengan $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{y^{2} - 2 x y}{y^{2}} d x + x^{2} d y = 0$

Langkah 6.3

Faktorkan $y$ dari $y^{2} - 2 x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Faktorkan $y$ dari $y^{2}$ .

$\frac{y \cdot y - 2 x y}{y^{2}} d x + x^{2} d y = 0$

Langkah 6.3.2

Faktorkan $y$ dari $- 2 x y$ .

$\frac{y \cdot y + y (- 2 x)}{y^{2}} d x + x^{2} d y = 0$

Langkah 6.3.3

Faktorkan $y$ dari $y \cdot y + y (- 2 x)$ .

$\frac{y (y - 2 x)}{y^{2}} d x + x^{2} d y = 0$

Langkah 6.4

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Faktorkan $y$ dari $y^{2}$ .

$\frac{y (y - 2 x)}{y \cdot y} d x + x^{2} d y = 0$

Langkah 6.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y (y - 2 x)}{y \cdot y} d x + x^{2} d y = 0$

Langkah 6.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y - 2 x}{y} d x + x^{2} d y = 0$

Langkah 6.5

Kalikan $x^{2}$ dengan $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{y - 2 x}{y} d x + x^{2} \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Langkah 6.6

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{y - 2 x}{y} d x + \frac{x^{2}}{y^{2}} d y = 0$

Langkah 7

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x^{2}}{y^{2}} d y$

Langkah 8

Integralkan $N (x, y) = \frac{x^{2}}{y^{2}}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Karena $x^{2}$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $x^{2}$ keluar dari integral.

$f (x, y) = x^{2} \int \frac{1}{y^{2}} d y$

Langkah 8.2

Pindahkan $y^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$f (x, y) = x^{2} \int {(y^{2})}^{- 1} d y$

Langkah 8.3

Kalikan eksponen dalam ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = x^{2} \int y^{2 \cdot - 1} d y$

Langkah 8.3.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f (x, y) = x^{2} \int y^{- 2} d y$

Langkah 8.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{- 2}$ terhadap $y$ adalah $- y^{- 1}$ .

$f (x, y) = x^{2} (- y^{- 1} + C)$

Langkah 8.5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.1

Tulis kembali $x^{2} (- y^{- 1} + C)$ sebagai $x^{2} (- \frac{1}{y}) + C$ .

$f (x, y) = x^{2} (- \frac{1}{y}) + C$

Langkah 8.5.2

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{1}{y}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{y} + C$

Langkah 9

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{y} + g (x)$

Langkah 10

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y - 2 x}{y}$

Langkah 11

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{y} + g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

Langkah 11.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- \frac{x^{2}}{y} + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

Langkah 11.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{y}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Karena $- \frac{1}{y}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{x^{2}}{y}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

Langkah 11.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- \frac{1}{y} (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

Langkah 11.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 \frac{1}{y} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

Langkah 11.3.4

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{y}$ .

$\frac{- 2}{y} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

Langkah 11.3.5

Gabungkan $\frac{- 2}{y}$ dan $x$ .

$\frac{- 2 x}{y} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

Langkah 11.3.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{2 x}{y} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

Langkah 11.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$- \frac{2 x}{y} + \frac{d g}{d x} = \frac{y - 2 x}{y}$

Langkah 11.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} - \frac{2 x}{y} = \frac{y - 2 x}{y}$

Langkah 12

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Pindahkan semua suku yang mengandung variabel ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.1

Kurangkan $\frac{y - 2 x}{y}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} - \frac{2 x}{y} - \frac{y - 2 x}{y} = 0$

Langkah 12.1.1.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 x - (y - 2 x)}{y} = 0$

Langkah 12.1.1.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 x - y - (- 2 x)}{y} = 0$

Langkah 12.1.1.3.2

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 x - y + 2 x}{y} = 0$

Langkah 12.1.1.4

Gabungkan suku balikan dalam $- 2 x - y + 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.4.1

Tambahkan $- 2 x$ dan $2 x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y + 0}{y} = 0$

Langkah 12.1.1.4.2

Tambahkan $- y$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y}{y} = 0$

Langkah 12.1.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y}{y} = 0$

Langkah 12.1.1.5.2

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{d g}{d x} - 1 = 0$

Langkah 12.1.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d g}{d x} = 1$

Langkah 13

Temukan $1$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = 1$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int d x$

Langkah 13.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int d x$

Langkah 13.3

Terapkan aturan konstanta.

$g (x) = x + C$

Langkah 14

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = - \frac{x^{2}}{y} + g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{y} + x + C$