Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} + y \cot (x) = \cos (x)$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Faktorkan $y$ dari $y \cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + y (\cot (x)) = \cos (x)$

Langkah 1.2

Susun kembali $y$ dan $\cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + \cot (x) y = \cos (x)$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = \cot (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int \cot (x) d x}$

Langkah 2.2

Integral dari $\cot (x)$ terhadap $x$ adalah $\ln (| \sin (x) |)$ .

$e^{\ln (| \sin (x) |) + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{\ln (\sin (x))}$

Langkah 2.4

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$\sin (x)$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $\sin (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \sin (x) (\cot (x) y) = \sin (x) \cos (x)$

Langkah 3.2

Tulis kembali dalam bentuk sinus dan kosinus, kemudian batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Susun kembali $\sin (x)$ dan $\cot (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cot (x) \sin (x) y = \sin (x) \cos (x)$

Langkah 3.2.2

Tulis kembali $\sin (x) (\cot (x) y)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x) y = \sin (x) \cos (x)$

Langkah 3.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sin (x) \cos (x)$

Langkah 3.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sin (x) \cos (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + y \cos (x) = \sin (x) \cos (x)$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y] = \sin (x) \cos (x)$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [\sin (x) y] d x = \int \sin (x) \cos (x) d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$\sin (x) y = \int \sin (x) \cos (x) d x$

Langkah 7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Biarkan $u = \sin (x)$ . Kemudian $d u = \cos (x) d x$ sehingga $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Biarkan $u = \sin (x)$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.1

Diferensialkan $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 7.1.1.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Langkah 7.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\sin (x) y = \int u d u$

Langkah 7.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\sin (x) y = \frac{1}{2} u^{2} + C$

Langkah 7.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\sin (x)$ .

$\sin (x) y = \frac{1}{2} \sin^{2} (x) + C$

Langkah 8

Bagi setiap suku pada $\sin (x) y = \frac{1}{2} \sin^{2} (x) + C$ dengan $\sin (x)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagilah setiap suku di $\sin (x) y = \frac{1}{2} \sin^{2} (x) + C$ dengan $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{\frac{1}{2} \sin^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{\frac{1}{2} \sin^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Langkah 8.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} \sin^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Langkah 8.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $\sin^{2} (x)$ dan $\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1.1

Faktorkan $\sin (x)$ dari $\frac{1}{2} \sin^{2} (x)$ .

$y = \frac{\sin (x) (\frac{1}{2} \sin (x))}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Langkah 8.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$y = \frac{\sin (x) (\frac{1}{2} \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1} + \frac{C}{\sin (x)}$

Langkah 8.3.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{\sin (x) (\frac{1}{2} \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1} + \frac{C}{\sin (x)}$

Langkah 8.3.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{\frac{1}{2} \sin (x)}{1} + \frac{C}{\sin (x)}$

Langkah 8.3.1.1.2.4

Bagilah $\frac{1}{2} \sin (x)$ dengan $1$ .

$y = \frac{1}{2} \sin (x) + \frac{C}{\sin (x)}$

Langkah 8.3.1.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sin (x)$ .

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C}{\sin (x)}$

Langkah 8.3.1.3

Pisahkan pecahan.

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Langkah 8.3.1.4

Konversikan dari $\frac{1}{\sin (x)}$ ke $\csc (x)$ .

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C}{1} \csc (x)$

Langkah 8.3.1.5

Bagilah $C$ dengan $1$ .

$y = \frac{\sin (x)}{2} + C \csc (x)$