Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y - 4 x}{x}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Pisahkan pecahan $\frac{3 y - 4 x}{x}$ menjadi dua pecahan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y}{x} + \frac{- 4 x}{x}$

Langkah 1.1.2

Kurangkan $\frac{3 y}{x}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d y}{d x} - \frac{3 y}{x} = \frac{- 4 x}{x}$

Langkah 1.2

Faktorkan $y$ dari $- \frac{3 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{3}{x}) = \frac{- 4 x}{x}$

Langkah 1.3

Susun kembali $y$ dan $- \frac{3}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{3}{x} y = \frac{- 4 x}{x}$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = - \frac{3}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int - \frac{3}{x} d x}$

Langkah 2.2

Integralkan $- \frac{3}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

Langkah 2.2.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

Langkah 2.2.3

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 2.2.4

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

Langkah 2.2.5

Sederhanakan.

$e^{- 3 \ln (| x |) + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{- 3 \ln (x)}$

Langkah 2.4

Gunakan kaidah pangkat logaritma.

$e^{\ln (x^{- 3})}$

Langkah 2.5

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$x^{- 3}$

Langkah 2.6

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{3}}$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $\frac{1}{x^{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{1}{x^{3}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{3}} (- \frac{3}{x} y) = \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{- 4 x}{x}$

Langkah 3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Gabungkan $\frac{1}{x^{3}}$ dan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}} (- \frac{3}{x} y) = \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{- 4 x}{x}$

Langkah 3.2.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}} (\frac{3}{x} y) = \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{- 4 x}{x}$

Langkah 3.2.3

Gabungkan $\frac{3}{x}$ dan $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{3 y}{x} = \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{- 4 x}{x}$

Langkah 3.2.4

Kalikan $- \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{3 y}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.1

Kalikan $\frac{3 y}{x}$ dengan $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x \cdot x^{3}} = \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{- 4 x}{x}$

Langkah 3.2.4.2

Kalikan $x$ dengan $x^{3}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.2.1

Kalikan $x$ dengan $x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.2.1.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{1} x^{3}} = \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{- 4 x}{x}$

Langkah 3.2.4.2.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{1 + 3}} = \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{- 4 x}{x}$

Langkah 3.2.4.2.2

Tambahkan $1$ dan $3$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{- 4 x}{x}$

Langkah 3.3

Gabungkan.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1 (- 4 x)}{x^{3} x}$

Langkah 3.4

Kalikan $x^{3}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Kalikan $x^{3}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1 (- 4 x)}{x^{3} x^{1}}$

Langkah 3.4.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1 (- 4 x)}{x^{3 + 1}}$

Langkah 3.4.2

Tambahkan $3$ dan $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1 (- 4 x)}{x^{4}}$

Langkah 3.5

Kalikan $- 4 x$ dengan $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{- 4 x}{x^{4}}$

Langkah 3.6

Hapus faktor persekutuan dari $x$ dan $x^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Faktorkan $x$ dari $- 4 x$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{x \cdot - 4}{x^{4}}$

Langkah 3.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{4}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{x \cdot - 4}{x \cdot x^{3}}$

Langkah 3.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{x \cdot - 4}{x \cdot x^{3}}$

Langkah 3.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{- 4}{x^{3}}$

Langkah 3.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = - \frac{4}{x^{3}}$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} y] = - \frac{4}{x^{3}}$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} y] d x = \int - \frac{4}{x^{3}} d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$\frac{1}{x^{3}} y = \int - \frac{4}{x^{3}} d x$

Langkah 7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{x^{3}} y = - \int \frac{4}{x^{3}} d x$

Langkah 7.2

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$\frac{1}{x^{3}} y = - (4 \int \frac{1}{x^{3}} d x)$

Langkah 7.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = - 4 \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Langkah 7.3.2

Pindahkan $x^{3}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = - 4 \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Langkah 7.3.3

Kalikan eksponen dalam ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = - 4 \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Langkah 7.3.3.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = - 4 \int x^{- 3} d x$

Langkah 7.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- 3}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = - 4 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Langkah 7.5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1.1

Gabungkan $x^{- 2}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = - 4 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

Langkah 7.5.1.2

Pindahkan $x^{- 2}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = - 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

Langkah 7.5.2

Sederhanakan.

$\frac{1}{x^{3}} y = - 4 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Langkah 7.5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 4$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = 4 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Langkah 7.5.3.2

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = \frac{4}{2 x^{2}} + C$

Langkah 7.5.3.3

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.3.3.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = \frac{2 \cdot 2}{2 x^{2}} + C$

Langkah 7.5.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.3.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = \frac{2 \cdot 2}{2 (x^{2})} + C$

Langkah 7.5.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{x^{3}} y = \frac{2 \cdot 2}{2 x^{2}} + C$

Langkah 7.5.3.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{x^{3}} y = \frac{2}{x^{2}} + C$

Langkah 8

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Pindahkan semua suku yang mengandung variabel ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Kurangkan $\frac{2}{x^{2}}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{1}{x^{3}} y - \frac{2}{x^{2}} = C$

Langkah 8.1.2

Kurangkan $C$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{1}{x^{3}} y - \frac{2}{x^{2}} - C = 0$

Langkah 8.1.3

Gabungkan $\frac{1}{x^{3}}$ dan $y$ .

$\frac{y}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} - C = 0$

Langkah 8.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Tambahkan $\frac{2}{x^{2}}$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{y}{x^{3}} - C = \frac{2}{x^{2}}$

Langkah 8.2.2

Tambahkan $C$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{y}{x^{3}} = \frac{2}{x^{2}} + C$

Langkah 8.3

Kalikan kedua ruas dengan $x^{3}$ .

$\frac{y}{x^{3}} x^{3} = (\frac{2}{x^{2}} + C) x^{3}$

Langkah 8.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{x^{3}} x^{3} = (\frac{2}{x^{2}} + C) x^{3}$

Langkah 8.4.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = (\frac{2}{x^{2}} + C) x^{3}$

Langkah 8.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1

Sederhanakan $(\frac{2}{x^{2}} + C) x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{2}{x^{2}} x^{3} + C x^{3}$

Langkah 8.4.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1.2.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{3}$ .

$y = \frac{2}{x^{2}} (x^{2} x) + C x^{3}$

Langkah 8.4.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{2}{x^{2}} (x^{2} x) + C x^{3}$

Langkah 8.4.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = 2 x + C x^{3}$

Langkah 8.4.2.1.3

Susun kembali $2 x$ dan $C x^{3}$ .

$y = C x^{3} + 2 x$