Kalkulus Contoh

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 2 \frac{d y}{d x} - 3 y = 5$

Langkah 1

Asumsikan semua penyelesaian sebagai bentuk $y = e^{r x}$ .

Langkah 2

Temukan persamaan karakteristik untuk $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 2 \frac{d y}{d x} - 3 y = 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

Langkah 2.2

Tentukan turunan keduanya.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

Langkah 2.3

Substitusikan ke dalam persamaan diferensial.

$r^{2} e^{r x} - 2 (r e^{r x}) - 3 e^{r x} = 5$

Langkah 2.4

Hilangkan tanda kurung.

$r^{2} e^{r x} - 2 r e^{r x} - 3 e^{r x} = 5$

Langkah 2.5

Faktorkan $e^{r x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Faktorkan $e^{r x}$ dari $r^{2} e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} - 2 r e^{r x} - 3 e^{r x} = 5$

Langkah 2.5.2

Faktorkan $e^{r x}$ dari $- 2 r e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} (- 2 r) - 3 e^{r x} = 5$

Langkah 2.5.3

Faktorkan $e^{r x}$ dari $e^{r x} r^{2} + e^{r x} (- 2 r)$ .

$e^{r x} (r^{2} - 2 r) - 3 e^{r x} = 5$

Langkah 2.5.4

Faktorkan $e^{r x}$ dari $- 3 e^{r x}$ .

$e^{r x} (r^{2} - 2 r) + e^{r x} \cdot - 3 = 5$

Langkah 2.5.5

Faktorkan $e^{r x}$ dari $e^{r x} (r^{2} - 2 r) + e^{r x} \cdot - 3$ .

$e^{r x} (r^{2} - 2 r - 3) = 5$

Langkah 2.6

Karena eksponensial tidak boleh nol, bagi kedua sisi dengan $e^{r x}$ .

$r^{2} - 2 r - 3 = 5$

Langkah 3

Selesaikan $r$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kurangkan $5$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$r^{2} - 2 r - 3 - 5 = 0$

Langkah 3.2

Kurangi $5$ dengan $- 3$ .

$r^{2} - 2 r - 8 = 0$

Langkah 3.3

Faktorkan $r^{2} - 2 r - 8$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 8$ dan jumlahnya $- 2$ .

$- 4, 2$

Langkah 3.3.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$(r - 4) (r + 2) = 0$

Langkah 3.4

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$r - 4 = 0$

$r + 2 = 0$

Langkah 3.5

Atur $r - 4$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $r$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Atur $r - 4$ sama dengan $0$ .

$r - 4 = 0$

Langkah 3.5.2

Tambahkan $4$ ke kedua sisi persamaan.

$r = 4$

Langkah 3.6

Atur $r + 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $r$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Atur $r + 2$ sama dengan $0$ .

$r + 2 = 0$

Langkah 3.6.2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$r = - 2$

Langkah 3.7

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(r - 4) (r + 2) = 0$ benar.

$r = 4, - 2$

Langkah 4

Dengan dua nilai yang ditemukan dari $r$ , dua penyelesaan dapat dibuat.

$y_{1} = e^{4 x}$

$y_{2} = e^{- 2 x}$

Langkah 5

Menurut prinsip superposisi, penyelesaian umumnya adalah kombinasi linear kedua penyelesaian untuk persamaan diferensial linear homogen ordo dua.

$y = c_{1} e^{4 x} + c_{2} e^{- 2 x}$