Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = 4 x \sqrt{y}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} (4 x \sqrt{y})$

Langkah 1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{1}{\sqrt{y}} (x \sqrt{y})$

Langkah 1.2.2

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{y}}$ dengan $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 (\frac{1}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}) (x \sqrt{y})$

Langkah 1.2.3

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{y}}$ dengan $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y} \sqrt{y}} (x \sqrt{y})$

Langkah 1.2.3.2

Naikkan $\sqrt{y}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}} (x \sqrt{y})$

Langkah 1.2.3.3

Naikkan $\sqrt{y}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}} (x \sqrt{y})$

Langkah 1.2.3.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1 + 1}} (x \sqrt{y})$

Langkah 1.2.3.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{2}} (x \sqrt{y})$

Langkah 1.2.3.6

Tulis kembali ${\sqrt{y}}^{2}$ sebagai $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{y}$ sebagai $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x \sqrt{y})$

Langkah 1.2.3.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (x \sqrt{y})$

Langkah 1.2.3.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} (x \sqrt{y})$

Langkah 1.2.3.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} (x \sqrt{y})$

Langkah 1.2.3.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{y^{1}} (x \sqrt{y})$

Langkah 1.2.3.6.5

Sederhanakan.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{y} (x \sqrt{y})$

Langkah 1.2.4

Gabungkan $4$ dan $\frac{\sqrt{y}}{y}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{4 \sqrt{y}}{y} (x \sqrt{y})$

Langkah 1.2.5

Kalikan $\frac{4 \sqrt{y}}{y} (x \sqrt{y})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{4 \sqrt{y}}{y}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (4 \sqrt{y})}{y} \sqrt{y}$

Langkah 1.2.5.2

Gabungkan $\frac{x (4 \sqrt{y})}{y}$ dan $\sqrt{y}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (4 \sqrt{y}) \sqrt{y}}{y}$

Langkah 1.2.5.3

Naikkan $\sqrt{y}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (4 ({\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}))}{y}$

Langkah 1.2.5.4

Naikkan $\sqrt{y}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (4 ({\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}))}{y}$

Langkah 1.2.5.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (4 {\sqrt{y}}^{1 + 1})}{y}$

Langkah 1.2.5.6

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (4 {\sqrt{y}}^{2})}{y}$

Langkah 1.2.6

Tulis kembali ${\sqrt{y}}^{2}$ sebagai $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{y}$ sebagai $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 4 {(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}{y}$

Langkah 1.2.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 4 y^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{y}$

Langkah 1.2.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 4 y^{\frac{2}{2}}}{y}$

Langkah 1.2.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 4 y^{\frac{2}{2}}}{y}$

Langkah 1.2.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 4 y^{1}}{y}$

Langkah 1.2.6.5

Sederhanakan.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 4 y}{y}$

Langkah 1.2.7

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 4 y}{y}$

Langkah 1.2.7.2

Bagilah $x \cdot 4$ dengan $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = x \cdot 4$

Langkah 1.2.8

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $x$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 x$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{\sqrt{y}} d y = 4 x d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{\sqrt{y}} d y = \int 4 x d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{y}$ sebagai $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int 4 x d x$

Langkah 2.2.1.2

Pindahkan $y^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int 4 x d x$

Langkah 2.2.1.3

Kalikan eksponen dalam ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int 4 x d x$

Langkah 2.2.1.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$\int y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int 4 x d x$

Langkah 2.2.1.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int 4 x d x$

Langkah 2.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $y$ adalah $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 4 x d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 4 \int x d x$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Tulis kembali $4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ sebagai $4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.1

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{2}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{4}{2} x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2} x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{2}{1} x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2.2.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} = 2 x^{2} + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Bagi setiap suku pada $2 y^{\frac{1}{2}} = 2 x^{2} + K$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Bagilah setiap suku di $2 y^{\frac{1}{2}} = 2 x^{2} + K$ dengan $2$ .

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 x^{2}}{2} + \frac{K}{2}$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 x^{2}}{2} + \frac{K}{2}$

Langkah 3.1.2.2

Bagilah $y^{\frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 x^{2}}{2} + \frac{K}{2}$

Langkah 3.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 x^{2}}{2} + \frac{K}{2}$

Langkah 3.1.3.1.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = x^{2} + \frac{K}{2}$

Langkah 3.2

Pangkatkan setiap sisi persamaan dengan pangkat $2$ untuk menghilangkan eksponen pecahan di sisi kiri.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x^{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Langkah 3.3

Sederhanakan bentuk eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Sederhanakan ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1.1

Kalikan eksponen dalam ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x^{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Langkah 3.3.1.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x^{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Langkah 3.3.1.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{1} = {(x^{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Langkah 3.3.1.1.2

Sederhanakan.

$y = {(x^{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Sederhanakan ${(x^{2} + \frac{K}{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Tulis kembali ${(x^{2} + \frac{K}{2})}^{2}$ sebagai $(x^{2} + \frac{K}{2}) (x^{2} + \frac{K}{2})$ .

$y = (x^{2} + \frac{K}{2}) (x^{2} + \frac{K}{2})$

Langkah 3.3.2.1.2

Perluas $(x^{2} + \frac{K}{2}) (x^{2} + \frac{K}{2})$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$y = x^{2} (x^{2} + \frac{K}{2}) + \frac{K}{2} (x^{2} + \frac{K}{2})$

Langkah 3.3.2.1.2.2

Terapkan sifat distributif.

$y = x^{2} x^{2} + x^{2} \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (x^{2} + \frac{K}{2})$

Langkah 3.3.2.1.2.3

Terapkan sifat distributif.

$y = x^{2} x^{2} + x^{2} \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Langkah 3.3.2.1.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.3.1.1

Kalikan $x^{2}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.3.1.1.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = x^{2 + 2} + x^{2} \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Langkah 3.3.2.1.3.1.1.2

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$y = x^{4} + x^{2} \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Langkah 3.3.2.1.3.1.2

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{K}{2}$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Langkah 3.3.2.1.3.1.3

Gabungkan $\frac{K}{2}$ dan $x^{2}$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{K x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Langkah 3.3.2.1.3.1.4

Kalikan $\frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.3.1.4.1

Kalikan $\frac{K}{2}$ dengan $\frac{K}{2}$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{K x^{2}}{2} + \frac{K \cdot K}{2 \cdot 2}$

Langkah 3.3.2.1.3.1.4.2

Naikkan $K$ menjadi pangkat $1$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{K x^{2}}{2} + \frac{K^{1} K}{2 \cdot 2}$

Langkah 3.3.2.1.3.1.4.3

Naikkan $K$ menjadi pangkat $1$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{K x^{2}}{2} + \frac{K^{1} K^{1}}{2 \cdot 2}$

Langkah 3.3.2.1.3.1.4.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = x^{4} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{K x^{2}}{2} + \frac{K^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Langkah 3.3.2.1.3.1.4.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{2 \cdot 2}$

Langkah 3.3.2.1.3.1.4.6

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

Langkah 3.3.2.1.3.2

Tambahkan $\frac{x^{2} K}{2}$ dan $\frac{K x^{2}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.3.2.1

Susun kembali $x^{2}$ dan $K$ .

$y = x^{4} + \frac{K x^{2}}{2} + \frac{K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

Langkah 3.3.2.1.3.2.2

Tambahkan $\frac{K x^{2}}{2}$ dan $\frac{K x^{2}}{2}$ .

$y = x^{4} + 2 \frac{K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

Langkah 3.3.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = x^{4} + 2 \frac{K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

Langkah 3.3.2.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = x^{4} + K x^{2} + \frac{K^{2}}{4}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = x^{4} + K x^{2} + K$