Kalkulus Contoh

$\frac{d r}{d θ} = π \cos (π θ)$ , $r (1) = 3$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d r = π \cos (π θ) d θ$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d r = \int π \cos (π θ) d θ$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$r + C_{1} = \int π \cos (π θ) d θ$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $π$ konstan terhadap $θ$ , pindahkan $π$ keluar dari integral.

$r + C_{1} = π \int \cos (π θ) d θ$

Langkah 2.3.2

Biarkan $u = π θ$ . Kemudian $d u = π d θ$ sehingga $\frac{1}{π} d u = d θ$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Biarkan $u = π θ$ . Tentukan $\frac{d u}{d θ}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Diferensialkan $π θ$ .

$\frac{d}{d θ} [π θ]$

Langkah 2.3.2.1.2

Karena $π$ konstan terhadap $θ$ , turunan dari $π θ$ terhadap $θ$ adalah $π \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$π \frac{d}{d θ} [θ]$

Langkah 2.3.2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ adalah $n θ^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Langkah 2.3.2.1.4

Kalikan $π$ dengan $1$ .

$π$

Langkah 2.3.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$r + C_{1} = π \int \cos (u) \frac{1}{π} d u$

Langkah 2.3.3

Gabungkan $\cos (u)$ dan $\frac{1}{π}$ .

$r + C_{1} = π \int \frac{\cos (u)}{π} d u$

Langkah 2.3.4

Karena $\frac{1}{π}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{π}$ keluar dari integral.

$r + C_{1} = π (\frac{1}{π} \int \cos (u) d u)$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Gabungkan $\frac{1}{π}$ dan $π$ .

$r + C_{1} = \frac{π}{π} \int \cos (u) d u$

Langkah 2.3.5.2

Batalkan faktor persekutuan dari $π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$r + C_{1} = \frac{π}{π} \int \cos (u) d u$

Langkah 2.3.5.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$r + C_{1} = 1 \int \cos (u) d u$

Langkah 2.3.5.3

Kalikan $\int \cos (u) d u$ dengan $1$ .

$r + C_{1} = \int \cos (u) d u$

Langkah 2.3.6

Integral dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $\sin (u)$ .

$r + C_{1} = \sin (u) + C_{2}$

Langkah 2.3.7

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $π θ$ .

$r + C_{1} = \sin (π θ) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$r = \sin (π θ) + K$

Langkah 3

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $K$ dengan mensubstitusikan $1$ untuk $θ$ dan $3$ untuk $r$ padda $r = \sin (π θ) + K$ .

$3 = \sin (π \cdot 1) + K$

Langkah 4

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\sin (π \cdot 1) + K = 3$ .

$\sin (π \cdot 1) + K = 3$

Langkah 4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan $\sin (π \cdot 1) + K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1.1

Kalikan $π$ dengan $1$ .

$\sin (π) + K = 3$

Langkah 4.2.1.1.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$\sin (0) + K = 3$

Langkah 4.2.1.1.3

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$0 + K = 3$

Langkah 4.2.1.2

Tambahkan $0$ dan $K$ .

$K = 3$

Langkah 5

Substitusikan $3$ untuk $K$ dalam $r = \sin (π θ) + K$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $3$ untuk $K$ .

$r = \sin (π θ) + 3$