Kalkulus Contoh

$(2 x + 1) d y + y^{2} d x = 0$

Langkah 1

Kurangkan $y^{2} d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$(2 x + 1) d y = - y^{2} d x$

Langkah 2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{(2 x + 1) y^{2}}$ .

$\frac{1}{(2 x + 1) y^{2}} (2 x + 1) d y = \frac{1}{(2 x + 1) y^{2}} (- y^{2}) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2 x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Faktorkan $2 x + 1$ dari $(2 x + 1) y^{2}$ .

$\frac{1}{(2 x + 1) (y^{2})} (2 x + 1) d y = \frac{1}{(2 x + 1) y^{2}} (- y^{2}) d x$

Langkah 3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{(2 x + 1) y^{2}} (2 x + 1) d y = \frac{1}{(2 x + 1) y^{2}} (- y^{2}) d x$

Langkah 3.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{1}{(2 x + 1) y^{2}} (- y^{2}) d x$

Langkah 3.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1}{y^{2}} d y = - \frac{1}{(2 x + 1) y^{2}} y^{2} d x$

Langkah 3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{(2 x + 1) y^{2}}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{(2 x + 1) y^{2}} y^{2} d x$

Langkah 3.3.2

Faktorkan $y^{2}$ dari $(2 x + 1) y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{y^{2} (2 x + 1)} y^{2} d x$

Langkah 3.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{y^{2} (2 x + 1)} y^{2} d x$

Langkah 3.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{2 x + 1} d x$

Langkah 3.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{y^{2}} d y = - \frac{1}{2 x + 1} d x$

Langkah 4

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int - \frac{1}{2 x + 1} d x$

Langkah 4.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Pindahkan $y^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int - \frac{1}{2 x + 1} d x$

Langkah 4.2.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int - \frac{1}{2 x + 1} d x$

Langkah 4.2.1.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int - \frac{1}{2 x + 1} d x$

Langkah 4.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{- 2}$ terhadap $y$ adalah $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int - \frac{1}{2 x + 1} d x$

Langkah 4.2.3

Tulis kembali $- y^{- 1} + C_{1}$ sebagai $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - \frac{1}{2 x + 1} d x$

Langkah 4.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int \frac{1}{2 x + 1} d x$

Langkah 4.3.2

Biarkan $u = 2 x + 1$ . Kemudian $d u = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Biarkan $u = 2 x + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Diferensialkan $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Langkah 4.3.2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 4.3.2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 4.3.2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 4.3.2.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 4.3.2.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.4.1

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 + 0$

Langkah 4.3.2.1.4.2

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$2$

Langkah 4.3.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 4.3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Langkah 4.3.3.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u} d u$

Langkah 4.3.4

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Langkah 4.3.5

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Langkah 4.3.6

Sederhanakan.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Langkah 4.3.7

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x + 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C_{2}$

Langkah 4.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$- \frac{1}{y} = - \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C$

Langkah 5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan $- \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Susun kembali $\ln (| 2 x + 1 |)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y} = - (\frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

Langkah 5.1.2

Sederhanakan $\frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |)$ dengan memindahkan $\frac{1}{2}$ ke dalam logaritma.

$- \frac{1}{y} = - \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C$

Langkah 5.2

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$y, 1, 1$

Langkah 5.2.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$y$

Langkah 5.3

Kalikan setiap suku pada $- \frac{1}{y} = - \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C$ dengan $y$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Kalikan setiap suku dalam $- \frac{1}{y} = - \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C$ dengan $y$ .

$- \frac{1}{y} y = - \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) y + C y$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{y}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 1}{y} y = - \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) y + C y$

Langkah 5.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1}{y} y = - \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) y + C y$

Langkah 5.3.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 = - \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) y + C y$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) y + C y$ .

$- 1 = - y \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C y$

Langkah 5.4

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- y \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C y = - 1$ .

$- y \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C y = - 1$

Langkah 5.4.2

Faktorkan $y$ dari $- y \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Faktorkan $y$ dari $- y \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ .

$y (- 1 \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})) + C y = - 1$

Langkah 5.4.2.2

Faktorkan $y$ dari $C y$ .

$y (- 1 \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})) + y C = - 1$

Langkah 5.4.2.3

Faktorkan $y$ dari $y (- 1 \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})) + y C$ .

$y (- 1 \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C) = - 1$

Langkah 5.4.3

Tulis kembali $- 1 \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ sebagai $- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ .

$y (- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C) = - 1$

Langkah 5.4.4

Bagi setiap suku pada $y (- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C) = - 1$ dengan $- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.4.1

Bagilah setiap suku di $y (- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C) = - 1$ dengan $- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C$ .

$\frac{y (- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C)}{- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C} = \frac{- 1}{- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

Langkah 5.4.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.4.2.1

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{- 1}{- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

Langkah 5.4.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.4.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - \frac{1}{- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

Langkah 5.4.4.3.2

Faktorkan $- 1$ dari $- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ .

$y = - \frac{1}{- (\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})) + C}$

Langkah 5.4.4.3.3

Faktorkan $- 1$ dari $C$ .

$y = - \frac{1}{- (\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})) - 1 (- C)}$

Langkah 5.4.4.3.4

Faktorkan $- 1$ dari $- (\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})) - 1 (- C)$ .

$y = - \frac{1}{- (\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) - C)}$

Langkah 5.4.4.3.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.4.3.5.1

Tulis kembali $- (\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) - C)$ sebagai $- 1 (\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) - C)$ .

$y = - \frac{1}{- 1 (\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) - C)}$

Langkah 5.4.4.3.5.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - - \frac{1}{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) - C}$

Langkah 5.4.4.3.5.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y = 1 \frac{1}{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) - C}$

Langkah 5.4.4.3.5.4

Kalikan $\frac{1}{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) - C}$ dengan $1$ .

$y = \frac{1}{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) - C}$

Langkah 6

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \frac{1}{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$