Kalkulus Contoh

$y'''' = x y + x - 2 y - 2$ para $y (0) = 1$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$\frac{d y}{d x} = (x y + x) - 2 y - 2$

Langkah 1.1.1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$\frac{d y}{d x} = x (y + 1) - 2 (y + 1)$

Langkah 1.1.2

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $y + 1$ .

$\frac{d y}{d x} = (y + 1) (x - 2)$

Langkah 1.2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y + 1}$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) (x - 2))$

Langkah 1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) (x - 2))$

Langkah 1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = x - 2$

Langkah 1.4

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y + 1} d y = (x - 2) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int x - 2 d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Biarkan $u = y + 1$ . Kemudian $d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Biarkan $u = y + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1

Diferensialkan $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Langkah 2.2.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y + 1$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 2.2.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 2.2.1.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 2.2.1.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int x - 2 d x$

Langkah 2.2.2

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int x - 2 d x$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y + 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int x - 2 d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int x d x + \int - 2 d x$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int - 2 d x$

Langkah 2.3.3

Terapkan aturan konstanta.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - 2 x + C_{3}$

Langkah 2.3.4

Sederhanakan.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| y + 1 |) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| y + 1 |)} = e^{\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C}$

Langkah 3.2

Tulis kembali $\ln (| y + 1 |) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C} = | y + 1 |$

Langkah 3.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| y + 1 | = e^{\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C}$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C}$

Langkah 3.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x + C}$

Langkah 3.3.3

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y + 1 = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x + C}$

Langkah 3.3.4

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x + C} - 1$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali $e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x + C}$ sebagai $e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} e^{C} - 1$

Langkah 4.2

Susun kembali $e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x}$ dan $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} - 1$

Langkah 4.3

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = C e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} - 1$

Langkah 5

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $C$ dengan mensubstitusikan $0$ untuk $x$ dan $1$ untuk $y$ padda $y = C e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} - 1$ .

$1 = C e^{\frac{0^{2}}{2} - 2 \cdot 0} - 1$

Langkah 6

Selesaikan $C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $C e^{\frac{0^{2}}{2} - 2 \cdot 0} - 1 = 1$ .

$C e^{\frac{0^{2}}{2} - 2 \cdot 0} - 1 = 1$

Langkah 6.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$C e^{\frac{0}{2} - 2 \cdot 0} - 1 = 1$

Langkah 6.2.1.2

Bagilah $0$ dengan $2$ .

$C e^{0 - 2 \cdot 0} - 1 = 1$

Langkah 6.2.1.3

Kalikan $- 2$ dengan $0$ .

$C e^{0 + 0} - 1 = 1$

Langkah 6.2.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$C e^{0} - 1 = 1$

Langkah 6.2.3

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$C \cdot 1 - 1 = 1$

Langkah 6.2.4

Kalikan $C$ dengan $1$ .

$C - 1 = 1$

Langkah 6.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $C$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$C = 1 + 1$

Langkah 6.3.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$C = 2$

Langkah 7

Substitusikan $2$ untuk $C$ dalam $y = C e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} - 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Substitusikan $2$ untuk $C$ .

$y = 2 e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} - 1$